Пенской А. В. - Дифференциальная геометрия и топология - Вводная лекция

YOUTUBE · 01.12.2025 09:40

Ключевые темы и таймкоды

Введение в дифференциальную геометрию и топологию

0:19

Курс называется "дифференциальная геометрия и топология", но на самом деле это анализ на многообразиях.
Лектор, Алексей Пинский, обсуждает, что такое точки, векторы и функции в геометрии.

Афинное пространство и векторное пространство

6:39

Афинное пространство - это пара, состоящая из множества точек и векторного пространства.
В афинном пространстве нет выделенной точки, в отличие от векторного пространства.

Работа в координатах

11:17

В векторном пространстве координаты определяются через выбор базиса.
В афинном пространстве координаты определяются через репер, состоящий из базисной точки и базисных векторов.

Геометрия и координаты

12:48

В геометрии работают с точками и векторами, а не с координатами.
Геометры используют разные системы координат, такие как полярные, цилиндрические и сферические.

Кривые и функции

18:36

Функция может быть записана в разных координатах, что может вызвать путаницу у алгебраистов.
В геометрии функция - это отображение между геометрическими объектами, а не просто алгоритм вычисления.

Композиция функций и координаты

23:09

В геометрии функции могут быть составлены из разных отображений, а не только из координат.
Функция может быть определена только по своему символу, но в геометрии она также определяется аргументами.

Введение в анализ на многообразии

26:21

Видео объясняет, что такое анализ на многообразии и как он связан с геометрией.
Обсуждаются различные способы задания кривых и поверхностей в пространстве.

Регулярные гладкие кривые

34:18

Регулярные гладкие кривые - это кривые, которые можно дифференцировать.
Примеры странных гладких параметрических кривых, таких как кривая, где игрек убывает до нуля и растет обратно.
Важно понимать, что даже если функция гладкая, это не гарантирует, что кривая будет гладкой.

Регулярность и гладкость кривых

40:32

Обсуждается понятие регулярности кривых, которое означает, что скорость не обращается в ноль в каждой точке.
Условие регулярности для кривых означает, что скорость не равна нулю в каждой точке.

Регулярность и гладкость поверхностей

44:43

Обсуждается понятие регулярности и гладкости поверхностей, которые задаются с помощью отображения из области в пространстве.
Условие регулярности для поверхностей означает, что матрица частных производных имеет максимальный ранг.

Особые точки и условия регулярности

50:32

Условие регулярности не гарантирует гладкость кривой или поверхности, необходимо также учитывать особые точки.
Для кривых и поверхностей с особыми точками необходимо использовать условия регулярности.

Теорема о неявной функции

53:03

Обсуждается теорема о неявной функции, которая позволяет выразить одну переменную через другую, если уравнение является линейным.

Теорема о неявной функции

55:10

В видео обсуждается теорема о неявной функции, которая утверждает, что если у нас есть уравнение, которое определяет кривую в пространстве, и если частная производная по одной из переменных не равна нулю, то можно выразить эту переменную через остальные.
Для общего случая, когда у нас есть несколько уравнений, определяющих кривую, мы должны использовать теорему о неявной функции для каждого уравнения.

Условия регулярности

1:02:25

Для того чтобы выразить одну переменную через остальные, нам нужно, чтобы ранг матрицы, составленной из частных производных, был равен единице.
Это условие называется регулярностью.

Общий случай

1:04:30

В общем случае, когда у нас есть несколько уравнений, определяющих кривую, мы должны использовать теорему о неявной функции для каждого уравнения.
Вместо того чтобы выражать одну переменную через остальные, мы хотим выразить все переменные через оставшиеся.
Для этого нам нужно, чтобы матрица, составленная из частных производных, была полного ранга и лежала на поверхности.

Определение неявно заданной поверхности

1:14:40

Регулярная гладкая камерная неявно заданная поверхность - это множество точек, удовлетворяющих уравнению, где ранг системы равен n-k в любой точке.

Локальная геометрия неявно заданной поверхности

1:18:52

Неявно заданная поверхность может быть рассмотрена как параметризованная.
Локально неявно заданная поверхность может быть изучена только в контексте дифференциальной геометрии.

Гладкое многообразие

1:23:06

Гладкое многообразие - это такая вещь, которая обладает двумя свойствами: она никуда не вложена и обладает гладкими функциями.
В начале следующей лекции будет изучено определение функций на промаризованных поверхностях и их свойства.