Математический анализ. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 3.3. Предел последовательности

YOUTUBE · 01.12.2025 04:07

Ключевые темы и таймкоды

Введение в сходимость последовательностей

0:00

Сходимость формулируется явным образом, указывая предел.
Предел может быть точкой на плоскости, в пространстве или на прямой.
Важно освоить понятие расстояния для всех случаев.

Определение сходимости

0:52

Последовательность сходится к точке x, если её члены приближаются к x при n стремится к бесконечности.
Для любого круга с центром в x и радиусом ε существует такое n, что все члены последовательности после n принадлежат этому кругу.

Формальное определение сходимости

3:52

Последовательность сходится к x, если для любого ε можно указать такое n, что все оставшиеся после n члены последовательности находятся в пределах интервала x ± ε.

Сравнение с суммой ряда

4:52

Сумма ряда — это минимальное число, большее всех частичных сумм.
Если все слагаемые ряда неотрицательны, то сумма ряда совпадает с пределом последовательности частичных сумм.

Предел последовательности

6:52

Предел последовательности bn стремится к b при n стремится к бесконечности.
Для любой окрестности b существует такое n, что все члены последовательности после n попадают в интервал b - ε, b + ε.

Монотонные последовательности

10:35

Монотонные последовательности либо возрастают, либо убывают.
Для монотонных последовательностей предел определяется проще: достаточно, чтобы для любого ε существовал номер n, такой что bn попадает в окрестность b.

Упрощённое определение предела

12:35

Для возрастающей последовательности bn стремится к b, если b больше или равно bn для любого n.
Важно требовать, чтобы предел был больше всех членов последовательности.

Применение к частичным суммам ряда

14:35

Общее понятие предела последовательности применяется к частичным суммам любого ряда.