Введение в математический анализ 4. Теоремы о пределе числовой последовательности

YOUTUBE · 30.11.2025 09:36

Ключевые темы и таймкоды

Введение и организационные вопросы

0:05

Приветствие и организационные вопросы.
Просьба к старостам групп сообщать о материалах и результатах.
Создание формы для вопросов по лекциям.

Предел последовательности

1:31

Введение понятия предела последовательности.
Определение предела последовательности.

Теорема единственности предела

2:14

Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Доказательство от противного.

Сходящаяся и расходящаяся последовательность

7:42

Определение сходящейся и расходящейся последовательности.
Пример расходящейся последовательности.

Ограниченность последовательности

12:32

Определение ограниченной последовательности.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Предельный переход в неравенствах

19:14

Переход к обсуждению предельного перехода в неравенствах.

Теорема о пределе в неравенствах

19:34

Если последовательности сходятся к одинаковым пределам и для их членов выполнено неравенство, то это неравенство сохраняется и для пределов.
Доказательство от противного: предположим, что а больше б, и определим эпсилон.
Найдется номер н1, для которого а н - а меньше эпсилон, и номер н2, для которого бн - б меньше эпсилон.
Положим н большое равным максимуму н1 и н2, и получим противоречие с условием.

Пример строгого неравенства

26:16

Предельный переход не обязан сохранять строгие неравенства.
Пример: последовательность а тождественно равна нулю, а бн - последовательность один на н.
Предел а равен пределу бн, несмотря на строгое неравенство между членами.

Теорема о зажатой последовательности

28:36

Если три последовательности имеют один и тот же предел и зажаты между двумя другими, то зажатая последовательность также имеет предел, равный этому пределу.
Доказательство: зафиксируем произвольное эпсилон больше нуля и найдем номера н1 и н2, для которых выполнено неравенство.
Положим н большое равным максимуму из трех чисел и получим, что для всех н больше либо равно н большое выполнено неравенство.

Арифметические операции с пределами

35:44

Сумма и произведение последовательностей сходятся к сумме и произведению пределов.
Частное последовательностей сходится к частному пределов, если один из пределов не равен нулю.
Доказательство: фиксируем произвольное эпсилон больше нуля и доказываем, что для всех н больше либо равно н большое выполнено неравенство.

Введение в технику

48:03

Обсуждение традиционного трюка: добавление и вычитание для применения неравенства треугольника.
Подчеркивается, что это становится техникой при многократном повторении.
Пример: как можно уменьшить модуль числа, чтобы он не влиял на результат.

Доказательство ограниченности последовательности

50:25

Доказательство существования предела последовательности обратных величин.
Установление ограниченности последовательности.
Использование неравенства треугольника для доказательства.

Пример с последовательностью

1:01:51

Пример с последовательностью, где сумма и произведение сходятся, но сами последовательности расходятся.
Определение бесконечно малой последовательности.
Пример, показывающий, что для бесконечно малой последовательности достаточно ограниченности.

Бесконечные пределы

1:08:54

Введение понятия бесконечного предела.
Определение последовательности, стремящейся к плюс бесконечности.
Пример последовательности, стремящейся к минус бесконечности.
Определение бесконечно большой последовательности и пример такой последовательности.

Завершение лекции

1:16:32

Лекция завершается следующей задачей.
Докажите, что если последовательность бесконечно большая, то она не ограничена.
Покажите на примере, что обратное неверно.

Доказательство и пример

1:17:02

Покажите, что если последовательность а бесконечно большая, то она не ограничена.
Покажите на примере, что обратное неверно.

Заключение

1:17:20

Лекция завершена.
Благодарность за внимание.