Семинар 3. Часть 1. Предел последовательности. Бесконечно большие последовательности.

YOUTUBE · 23.11.2025 03:12

Ключевые темы и таймкоды

Определение предела последовательности

0:01

Предел последовательности — это число, для которого выполняется кванторное утверждение: для любого ε существует номер, начиная с которого модуль |a_n - a| меньше ε.
Пример: для ε = 0,1 существует номер n, начиная с которого все члены последовательности лежат в интервале |a_n - a| < 0,1.

Геометрическое объяснение предела

0:38

Последовательность представлена на оси с номерами.
Эпсилон-окрестность числа a — это интервал |a - ε| ≤ a ≤ a + ε.
Если последовательность приближается к a, то для любого ε найдётся номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в ε-окрестности.

Сходящаяся последовательность

4:18

Последовательность называется сходящейся, если у неё есть конечный предел.
Пример сходящейся последовательности: |1/n| стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
Для любого ε существует номер, начиная с которого все члены последовательности лежат в ε-окрестности нуля.

Расходящаяся последовательность

7:28

Последовательность называется расходящейся, если у неё нет предела или он бесконечен.
Пример расходящейся последовательности: |-1|^n.
Если взять ε-окрестность единицы, то всегда найдутся члены, которые не лежат в этой окрестности.

Доказательство существования предела

9:47

Для доказательства существования предела нужно предъявить номер, начиная с которого выполняется определённое неравенство.
Пример доказательства: для |1/n| предел равен нулю. Решаем неравенство |1/n| < ε, получаем n > 1/ε. Округляем до ближайшего целого и прибавляем 1, получаем номер, начиная с которого выполняется неравенство.

Доказательство расходимости последовательности

14:00

Доказываем, что никакое число не является пределом последовательности |-1|^n.
Меняем квантор в определении предела на «не существует», чтобы доказать расходимость.
Для любого ε всегда найдётся номер, начиная с которого член последовательности не лежит в ε-окрестности.

Доказательство, что числа больше или равны нулю не являются пределами

15:59

Члены с нечётными номерами равны минус единице, с чётными — единице.
Для любого числа больше или равного нулю существует окрестность, из которой всегда «вылетают» члены с нечётными номерами.
Пример с числом 1: при ε = 1/2 член с номером 2n + 1 не лежит в окрестности.

Доказательство, что числа меньше нуля также не являются пределами

19:38

Для чисел меньше нуля существует окрестность, из которой «вылетают» члены с чётными номерами.
Аналогично доказательству для чисел больше или равных нулю.

Числовая последовательность не может иметь более одного предела

20:59

Последовательность не может иметь более одного предела.
Пример последовательности: $-1^n$, где единица не является пределом.

Определение предела

22:05

Предел — это число, вне любой окрестности которого конечное число элементов.
Утверждение, что в любой окрестности бесконечное число элементов, не является определением предела.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

23:23

Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: для окрестности ε = 1 все члены последовательности меньше или равны a + 1, начиная с некоторого номера.
Последовательность ограничена сверху максимумом из максимального члена первых n членов и a + 1.

Ограниченность и сходимость

28:18

Не всякая ограниченная последовательность сходится.
Пример: последовательность $-1^n$ ограничена единицей, но не имеет предела.
Из ограниченности не следует существование конечного предела, а из существования конечного предела следует ограниченность.

Введение в бесконечный предел

28:50

Обсуждение понятия бесконечного предела.
Введение расширенного множества действительных чисел с элементами плюс и минус бесконечность.
Ограничения операций сложения и умножения на этом множестве.

Определение предела плюс бесконечности

29:38

Попытка дать определение предела плюс бесконечности через обычное определение предела.
Уточнение понятия эпсилон-окрестности плюс бесконечности: все числа от эпсилона до плюс бесконечности.

Определение предела минус бесконечности

32:35

Определение эпсилон-окрестности минус бесконечности: интервал от минус бесконечности до минус эпсилона.
Определение предела минус бесконечности: для любого эпсилона существует номер, начиная с которого выполняется условие аn меньше минус эпсилона.

Последовательность, стремящаяся к бесконечности

34:07

Пример последовательности: минус один в степени n умножить на n.
Последовательность одновременно стремится к плюс и минус бесконечности.
Введение понятия предела, равного просто бесконечности.

Определение предела, равного просто бесконечности

35:09

Эпсилон-окрестность просто бесконечности: объединение интервалов от минус бесконечности до минус эпсилона и от эпсилона до плюс бесконечности.
Определение предела, равного просто бесконечности: для любого эпсилона существует номер, начиная с которого выполняется модуль ан больше эпсилона.

Бесконечно большие последовательности

36:27

Определение бесконечно большой последовательности: последовательность, для которой выполняется кванторное утверждение.
Пример бесконечно большой последовательности: последовательность n.

Формальности и схождение последовательностей

37:30

Введение расширенного множества действительных чисел R с крышкой.
Различие между расходящейся и сходящейся последовательностями в R и R с крышкой.
Пример: последовательность n расходится в R, но сходится в R с крышкой.

Вопрос о неограниченных последовательностях

39:31

Вопрос о связи между неограниченными и бесконечно большими последовательностями.
Пример последовательности, которая кажется неограниченной, но не бесконечно большой.
Необходимость дальнейшего обсуждения для прояснения этого вопроса.

Определение неограниченной и бесконечно большой последовательности

40:20

Записываем определение неограниченной последовательности как отрицание ограниченного.
В определении бесконечно большой последовательности заменяем эпсилон на м.
Доказываем, что бесконечно большая последовательность обязательно неограничена.

Ограниченность и бесконечно большая последовательность

41:30

Последовательность может быть неограниченной, но не обязательно бесконечно большой.
Пример последовательности: чётные члены равны нулю, нечётные стремятся к бесконечности.
Такая последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой.

Пример неограниченной, но не бесконечно большой последовательности

43:11

Приводим пример последовательности, где чётные члены равны нулю, а нечётные стремятся к бесконечности.
Для любого эпсилона найдётся член, не лежащий в окрестности бесконечности.
Последовательность не является бесконечно большой.

Определение бесконечно малой последовательности

44:17

Бесконечно малая последовательность стремится к нулю.
Для любого эпсилона существует номер, такой что для всех n больше или равно этого номера выполняется |an| < ε.
Примеры бесконечно малых последовательностей: 1/n, -1^n * 1/n.

Важность модуля в определении бесконечно малой последовательности

45:51

Обсуждается, что если |an| < ε, то это не всегда означает, что последовательность бесконечно малая.
Пример последовательности, которая не является бесконечно малой, но удовлетворяет условию |an| < ε: an = -n.
Подчёркивается, что модуль в определении бесконечно малой последовательности существенен.