Монотонные последовательности и ограниченные последовательности - Математический анализ 2

YOUTUBE · 28.11.2025 06:49

Ключевые темы и таймкоды

Монотонные последовательности

0:00

Монотонная последовательность всегда движется в одном направлении.
Для увеличения последовательности: 1-й член меньше или равен 2-му, 2-й член больше или равен 1-му и т.д.
Для уменьшения последовательности: 1-й член больше или равен 2-му, 2-й член больше или равен 3-му и т.д.

Примеры монотонных последовательностей

1:47

Пример увеличения монотонной последовательности.
Пример уменьшения монотонной последовательности.
Пример последовательности, которая не является монотонной.

Пример задачи

2:50

Последовательность a под n равна трем n, деленным на n плюс два.
Определение общего поля для последовательности.
Доказательство увеличения монотонной последовательности.

Доказательство увеличения

5:01

Упрощение выражения и доказательство неравенства.
Исключение члена n в квадрате и доказательство истинности утверждения.

Пример уменьшения

7:48

Последовательность a под n равна трем над четырьмя, возведенным в степень n.
Определение первых четырех слагаемых.
Доказательство уменьшения монотонной последовательности.

Ограниченные последовательности

11:55

Последовательность ограничена сверху, если она меньше или равна некоторому значению.
Последовательность ограничена снизу, если она больше или равна некоторому значению.
Последовательность ограничена, если она ограничена сверху и снизу.

Заключение

13:45

Ограниченная последовательность может быть монотонной и сходиться.
Пример колеблющейся последовательности, ограниченной сверху и снизу.

Монотонная и ограниченная последовательность

14:35

Последовательность сходится, если она монотонна и ограничена.
Пример: последовательность, где a_n = 1/n^2.
Последовательность монотонно уменьшается, что можно доказать графически или взяв первую производную.

Доказательство монотонности

15:29

График функции показывает уменьшение.
Первая производная функции отрицательна, что подтверждает уменьшение.
Доказательство через неравенство: предыдущий член больше следующего.

Ограниченность последовательности

18:32

Последовательность ограничена сверху и снизу.
График показывает, что последовательность ограничена снизу нулем.
Последовательность сходится, так как она монотонна и ограничена.

Предел последовательности

20:17

Предел последовательности при n стремящемся к бесконечности определяет сходимость.
Пример: предел последовательности a_n^2 равен нулю, что указывает на сходимость.

Пример с синусом

21:04

Последовательность синусов ограничена, но не монотонна.
Последовательность не монотонна, поэтому она расходится.

Пример с три в степени n, деленной на n факториалов

22:29

Последовательность сходится, так как предел при n стремящемся к бесконечности равен нулю.
Последовательность монотонно уменьшается, начиная со второго члена.
Доказательство монотонности через неравенство: предыдущий член больше следующего.

Уменьшение последовательности

29:48

Последовательность изначально увеличивается, но с 2-го семестра начинает уменьшаться.
Последовательность монотонно уменьшается, начиная с n, равного или превышающего два.
Последовательность ограничена сверху на отметке 4,5 и снизу на отметке ноль.

Сходящаяся последовательность

30:37

Последовательность ограничена и монотонна, что делает её сходящейся.
Предел последовательности при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю.
График показывает, что последовательность сходится к оси x.