Математический анализ. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 3.2 Сходимость последовательности

YOUTUBE · 01.12.2025 03:50

Ключевые темы и таймкоды

Введение в сходимость

0:00

Сходимость последовательности означает, что она затухает и стабилизируется в какой-то точке плоскости.
Для строгого определения нужно ввести понятие расстояния между точками на плоскости.
Расстояние обозначается как модуль разности координат точек.

Определение расстояния на плоскости

0:52

Расстояние между точками на плоскости равно корню из суммы квадратов разностей их координат.
В некоторых книгах расстояние обозначается буквой "ро".
Используется понятие диаметра множества точек на плоскости.

Понятие диаметра множества

1:52

Диаметр множества точек на плоскости определяется как расстояние между наиболее удаленными точками.
В случае открытого круга диаметр не может быть просто максимально допустимым расстоянием между точками.
Диаметр множества должен быть супремумом всех расстояний между точками.

Супремум расстояний

3:52

Диаметр множества - это число, которое больше любых расстояний между точками, но для которого можно указать точки с большим расстоянием.
Для множества на плоскости диаметр определяется как супремум множества всех расстояний между парами точек.
Если множество состоит из одной точки, то расстояние между ними равно нулю.

Ограниченные множества

6:37

Если множество на плоскости ограничено, то расстояние между точками не может быть сколь угодно большим.
В этом случае диаметр множества равен бесконечности.
Для ограниченного множества, например, круга, диаметр является максимальным расстоянием между точками.

Понятие диаметра множества

8:37

Диаметр множества можно определить для любого ограниченного множества.
Последовательность точек затухает, если все последующие точки мало отличаются от предыдущих.
Последовательность сходится, если диаметр множества остаточных членов стремится к нулю.

Сокращение множества точек

10:35

При удалении первых членов последовательности, множество точек сокращается.
Диаметр множества не может увеличиться при удалении точек.
Диаметр последовательности уменьшается с каждым удалением члена.

Убывающая последовательность точек

11:35

Убывающая последовательность точек может сходиться к точке ноль или оставаться ограниченной.
Последовательность сходится, если диаметр неограниченно приближается к нулю.
Требуется формальное определение для уточнения, что значит "неограниченно приближается к нулю".

Подводные камни сходимости

12:35

Сходимость не всегда указывает на наличие точки в пересечении сходящихся кругов.
Аксиома полноты вещественных чисел требует наличия точки в пересечении.
Определение фундаментальной последовательности требует, чтобы диаметр оставшегося куска стремился к нулю.