Математический анализ - 1. Лекция №2 "Предел последовательности"

YOUTUBE · 16.11.2025 07:40

Ключевые темы и таймкоды

Введение в математический анализ

0:00

В видео начинается лекция по математическому анализу, где преподаватель Шамин Роман Вячеславович объясняет, что такое числовая последовательность и как определить предел последовательности.
Последовательность - это занумерованная последовательность действительных чисел, которая определена для всех натуральных чисел.

Примеры числовых последовательностей

1:59

Примеры числовых последовательностей: последовательность, заданная функцией, которая зависит от натурального числа и дает число, соответствующее этому числу.
Примеры: последовательность, где общий член равен 1/1+n^2, и последовательность, где общий член равен 1-1/n.

Определение предела последовательности

4:52

Преподаватель объясняет определение предела последовательности: число а называется пределом последовательности, если для любого эпсилон больше нуля существует такой номер n, зависящий от эпсилон, что для всех n больше n, общий член последовательности находится в пределах эпсилон от числа а.
Если последовательность имеет предел, она называется сходящейся последовательностью.

Примеры сходящихся и не сходящихся последовательностей

6:50

Преподаватель приводит примеры сходящихся и не сходящихся последовательностей, таких как последовательность, где общий член равен 1/n, и последовательность, где общий член равен 1-1/n.

Определение предела последовательности с помощью окрестности

11:15

Мы дадим определение предела последовательности с использованием понятия окрестности и расстояния между числами.
Мы рассмотрим, как можно использовать это определение для определения предела последовательности.

Определение предела последовательности

16:54

Число а называется пределом последовательности, если в любой его окрестности содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера, зависящего от этой окрестности.

Доказательство единственности предела

19:49

Предположим, что последовательность имеет два предела а и б, причем они различны.
Возьмем эпсилон, равный половине длины от б до а, и построим две окрестности относительно точек а и б.
Противоречие доказывает, что если числовая последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема о зажатых последовательностях

23:07

Если последовательность а энная и ценная имеет один и тот же предел, то последовательность бн также имеет этот предел и сходится.

Ограниченные последовательности

25:55

Числовая последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число м, что а не превосходит м для всех членов последовательности.
Если последовательность имеет предел, она всегда ограничена.

Монотонные последовательности

27:57

Числовая последовательность называется монотонно возрастающей, если для всех эн имеет место неравенство, что а не превосходит, чем а н плюс один.
Аналогично, числовая последовательность называется монотонно убывающей, если для всех эн имеет место неравенство, что а эн больше или равна, чем а н плюс один.

Теорема о монотонно возрастающих последовательностях

29:04

Если последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает, то она обязана иметь предел.
Доказательство основано на определении супрема и использовании неравенств для определения предела.

Понятие под последовательности

33:51

Под последовательность - это последовательность, которая состоит из элементов исходной последовательности, но имеет конечное или бесконечное число членов.
Теорема Бальцана-Верштрасса утверждает, что из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся под последовательность.

Примеры под последовательностей

37:10

Примеры под последовательностей включают последовательности с четными или нечетными номерами, а также последовательности, содержащие только простые числа.
Теорема Бальцана-Верштрасса говорит о том, что любая ограниченная последовательность является предкомпактной.

Теорема Больца

38:01

Теорема Больца утверждает, что если последовательность сходится к числу, то она ограничена.
Мы рассмотрим пример, показывающий, что теорема Больца не всегда верна, если мы рассматриваем рациональные числа.

Теорема Бальца на Верштрасса

40:01

Теорема Бальца на Верштрасса утверждает, что если последовательность имеет предел, то она имеет сходящуюся подпоследовательность.
Мы покажем, как можно использовать эту теорему для доказательства других теорем, таких как теорема Больца.

Критерий Каши

44:01

Критерий Каши утверждает, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого эпсилон больше нуля существует такой номер эн, что модуль икс н минус икс м меньше, чем эпсилон для всех н и м, больших, чем н.
Мы докажем этот критерий, используя теорему Бальца на Верштрасса.

Введение в пределы

49:00

Видео начинается с объяснения понятия предела последовательности и его связи с понятием предела функции.
Предел последовательности - это число, к которому стремится последовательность при стремлении к бесконечности.

Определение предела последовательности

50:00

Предел последовательности определяется как число, к которому стремится переменная часть последовательности при стремлении к бесконечности.
Предел может быть равен нулю, плюс бесконечности или минус бесконечности.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

51:00

Бесконечно малая последовательность стремится к нулю, а бесконечно большая последовательность стремится к плюс бесконечности или минус бесконечности.
Последовательность может быть бесконечно большой, но не стремиться к бесконечности.

Примеры числовых последовательностей

55:00

Примеры числовых последовательностей включают последовательность а1, а2, а3, ... и последовательность а1/2, а2/2, а3/2, ...

Определение предела последовательности

56:00

Предел последовательности - это число, к которому стремится переменная часть последовательности при стремлении к бесконечности, и расстояние между этим числом и переменной частью должно быть меньше выбранного эпсилон.

Обозначения предела последовательности

58:00

Обозначение предела последовательности - lim a-n стремится к a-большому при n, стремящемся к бесконечности.