Мама, я Гейне! #13 Непрерывность элементарных функций

YOUTUBE · 22.11.2025 03:01

Ключевые темы и таймкоды

Введение

0:10

Михаил Ломоносов основал первую химическую лабораторию в России.
Ломоносов считал, что математика приводит ум в порядок.
В курсе обсуждались непрерывность функций в точке и на отрезке, композиция функций и обратная функция.

Непрерывность тригонометрических функций

1:09

Доказательства непрерывности функций сложны, но есть класс функций, которые непрерывны в каждой точке.
Начнем с тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Определение тригонометрических функций

1:37

Определение синуса и косинуса на полуинтервале от 0 до 2π.
Определение тангенса и котангенса через синус и косинус.
Расширение определения функций на всю действительную ось.

Неравенство для тригонометрических функций

5:34

Доказательство неравенства: синус меньше икс меньше тангенс для 0 ≤ x ≤ π/2.
Использование площадей треугольников и секторов для доказательства.

Непрерывность тригонометрических функций

11:46

Доказательство непрерывности синуса в каждой точке.
Использование теоремы о трех функциях для доказательства непрерывности косинуса.
Непрерывность тангенса и котангенса по теореме о непрерывности композиции.

Заключение

17:09

Все тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс непрерывны в каждой точке своей области определения.
Переход к обсуждению обратных функций к тригонометрическим.

Функция синуса

18:13

Рассматривается функция синуса на отрезке от -π/2 до π/2.
Функция синуса является возрастающей и непрерывной.
Вводится обратная функция арксинус, область определения которой - от -1 до 1.

Функция косинуса

19:26

Рассматривается функция косинуса на отрезке от 0 до π.
Функция косинуса является убывающей и непрерывной.
Вводится обратная функция арккосинус, область определения которой - от -1 до 1.

Теорема об обратной функции

21:09

Вспоминается теорема об обратной функции для монотонных и непрерывных функций.
Обратная функция существует и является монотонной и непрерывной на интервале, где инфиниум функции - это наименьшее значение, а супремум - наибольшее.

Функция тангенса

24:28

Рассматривается функция тангенса на интервале от -π/2 до π/2.
Функция тангенса является строго возрастающей и непрерывной.
Вводится обратная функция арктангенс, область определения которой - от -∞ до +∞.

Функция котангенса

26:57

Рассматривается функция котангенса на интервале от 0 до π.
Функция котангенса является непрерывной и строго убывающей.
Вводится обратная функция арккотангенс, область определения которой - от -∞ до +∞.

Степенные функции

28:48

Рассматриваются степенные функции вида x^p и показательные функции.
Вводится функция радикал энной степени из y, область определения которой - интервал от 0 до +∞.
Функция радикал энной степени из y является непрерывной и строго возрастающей на этом интервале.

Важная оговорка

33:44

Функция f от x, равная x в степени n при n натуральном, рассматривается на интервале от 0 до +∞.
Если n нечетное, функция f от x, равная x в степени n, будет нечетной и может рассматриваться на всем интервале R.
В этом случае функция остается строго возрастающей и непрерывной, и у нее существует обратная функция.

Определение степенной функции

35:39

Рассматриваются функции с целым, рациональным и действительным показателями.
Для целого показателя m, x в степени m определяется как произведение x m раз.
Для рационального показателя k, x в степени k определяется как композиция функций x в степени 1/n и x в степени m.

Свойства степенной функции с рациональным показателем

38:54

x в степени n умноженное на x в степени k равно x в степени n+k.
x в степени n строго меньше x в степени k при x больше единицы и n меньше k.
Доказательства этих свойств тривиальны и следуют из определения степенной функции.

Определение степенной функции с действительным показателем

39:56

Для любого действительного числа r существует последовательность рациональных чисел, сходящаяся к r.
Определение степенной функции x в степени r как предела числовой последовательности x в степени k при n стремящемся к бесконечности.
Доказательство существования и единственности предела для любой последовательности рациональных чисел, сходящейся к r.

Доказательство сходимости числовой последовательности

43:35

Последовательность x в степени k сходится, если она ограничена и фундаментальна.
Доказательство ограниченности последовательности x в степени k.
Оценка разности x в степени k и x в степени k+1, которая показывает, что последовательность x в степени k фундаментальна.

Фундаментальность последовательности

51:23

Последовательность кун сходится, что означает фундаментальность.
Для любого натурального числа н существует н большое, что для любых к и м модуль ку кт минус ку мт меньше единицы на н.
Это утверждение следует из определения фундаментальности.

Свойства степенной функции

52:46

Для любого эпсилон большего нуля существует н, что для любых к и м выполнено неравенство.
Это означает, что икс в степени кукат минус кум принадлежит интервалу от икс в степени минус единица на н до икс в степени единица на н.
Переписываем утверждение в виде неравенства.

Доказательство сходимости

55:25

Доказываем, что икс в степени плюс-минус единица на н стремится к единице.
Для любого эпсилон большего нуля существует н один и н два такие, что для любых н больше н один и н два модуль икс в степени плюс-минус единица на н минус единица меньше эпсилон.
Рассматриваем н больше максимума н один и н два.

Заключение

1:00:10

Модуль икс в степени кука минус кум минус единица меньше эпсилон.
Применяем оценку из пункта б, что разность икс в степени кука минус икс в степени кум меньше либо равна ц на модуль икс в степени кука минус кум минус единица.
Получаем конечный результат: модуль икс в степени кука минус икс в степени кум меньше эпсилон.

Сходимость последовательности

1:02:47

Для любого эпсилон большего нуля существует эн, зависящий от эпсилон, что для любых к и м больших, чем эн, выполнено икс в степени кукат минус икс в степени кум меньше ц эпсилон.
Это записывается как определение фундаментальности числовой последовательности.
В силу критерия Каши последовательность x степени qt сходится.

Случай икс меньше единицы

1:03:48

Рассматриваем случай икс меньше единицы.
Вводим обозначение икс с волной, равное единице, деленной на икс.
Последовательность икс степени кун можно записать как единица, деленная на икс с волной.
Предел знаменателя существует, что позволяет заключить существование предела икс в степени кун при н, стремящемся к бесконечности.

Единственность предела

1:06:27

Доказываем, что для любой последовательности рациональных чисел всегда существует предел числовой последовательности икс

Числовая последовательность и степенная функция

1:09:25

Рассматривается числовая последовательность x^cn.
Последовательность состоит из членов степени k и n.
Последовательность имеет два частичных предела a и b.
Это приводит к противоречию, так как последовательность должна иметь конечный предел.

Определение степенной функции

1:10:50

Формулируется определение степенной функции с действительным показателем.
Функция f от x, равная x^r, определяется как предел последовательности x^k при k стремящемся к r.
Свойства степенных функций с рациональным показателем переносятся на функции с действительным показателем.

Пример доказательства свойства степенной функции

1:12:44

Рассматривается функция x^r1+r2.
Пределы при стремлении к бесконечности заменяются произведением пределов.
Доказывается, что предел произведения равен x^r1 x^r2.

Введение показательной функции

1:15:05

Вводится определение показательной функции f от x, равной x^r.
Область определения функции: x принадлежит R, r принадлежит R+.
Важный частный случай: экспонента f от x, равная e^x.

Свойства показательной функции

1:16:41

Все свойства степенной функции переносятся на показательную функцию.
Показательная функция строго монотонна при r больше или меньше единицы.
При r равном единице функция является константой.

Непрерывность показательной функции

1:20:39

Показательная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Существует обратная функция, называемая логарифмом по основанию r.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается как ln y.

Доказательство непрерывности показательной функции

1:22:32

Доказывается, что предел показательной функции при стремлении x к x0 равен r^x0.
Вводится замена t = x - x0.
Предел при t стремящемся к нулю равен единице, что доказывает непрерывность показательной функции.

Доказательство непрерывности логарифма

1:28:06

Логарифм y по основанию r является обратной функцией к показательной функции.
Показательная функция непрерывна, что означает непрерывность логарифма.

Доказательство непрерывности степенной функции

1:28:50

Доказательство непрерывности функции f от x = x^p.
Использование свойств степенной функции и логарифма.
Применение теоремы о непрерывности композиций.

Итоги семинара

1:32:04

Рассмотрение тригонометрических, степенных, показательных и логарифмических функций.
Доказательство непрерывности всех основных элементарных функций.
Возможность составления любых комбинаций из этих функций.

Множество элементарных функций

1:34:00

Определение множества элементарных функций.
Функции, получаемые из основных элементарных функций с помощью композиций и арифметических операций.
Непрерывность всех функций из множества элементарных функций.

Классификация элементарных функций

1:37:38

Деление элементарных функций на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраические функции: многочлены, рациональные дроби, иррациональные функции.
Трансцендентные функции: неалгебраические элементарные функции.

Заключение

1:38:31

Подведение итогов семинара.
Непрерывность всех элементарных функций.
Призыв подписываться на канал и ставить лайки.