Панин А. А. - Теория функции комплексной переменной - Действия с комплексными числами

YOUTUBE · 16.11.2025 08:19

Ключевые темы и таймкоды

Введение в комплексные числа

0:12

Семинар посвящен комплексным числам.
Комплексное число можно представить как x + iy, где x и y - вещественные числа.
Арифметические действия с комплексными числами аналогичны действительным числам, но с заменой i^2 на -1.

Комплексное сопряжение

1:20

Комплексное сопряжение: x + iy становится x - iy.
Сопряженное к произведению комплексных чисел равно произведению их сопряженных.
Сопряженное к целой степени можно вычислить, взяв сопряженное и возведя в степень.

Деление комплексных чисел

2:46

Для деления комплексных чисел числитель и знаменатель умножаются на сопряженные числа.
Пример: a + bi / c + di = a - bi / c + di.
Деление комплексных чисел не упорядочено, но можно определить модуль числа.

Модуль комплексного числа

4:13

Модуль комплексного числа равен корню из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.
Если хотя бы одно из чисел x и y отлично от нуля, модуль больше нуля.
При умножении комплексных чисел модули перемножаются.

Примеры арифметических операций

6:44

Пример сложения комплексных чисел: 12 + 5.
Пример деления комплексных чисел: 2 + 3 / i - 1.
Умножение комплексного числа на его сопряженное дает квадрат модуля.

Геометрические понятия

11:03

Комплексные числа можно изображать на комплексной плоскости.
Аргумент числа - это угол, на который нужно повернуть единичный вектор положительного направления оси, чтобы он совпал с вектором числа.
Большой аргумент числа определяется как арктангенс отношения мнимой части к действительной части плюс 2πk, где k - любое целое число.

Определение большого аргумента

15:20

Большой аргумент определяется как сумма двух пиков при определенных значениях x и y.
Аргумент не всегда равен арктангенсу, а только при x больше нуля.
Значение многозначной функции в точке z является множеством.

Перемножение комплексных чисел

17:31

При перемножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
Большой аргумент произведения комплексных чисел является множеством, которое можно построить как сумму аргументов множителей.

Экспонента с чистым мнимым показателем

18:39

Формула Эйлера определяет экспоненту с чистым мнимым показателем.
Эта формула имеет смысл при определении через степенные ряды.
Экспонента с чистым мнимым показателем удовлетворяет обычным свойствам экспоненты.

Формы записи комплексного числа

21:53

Алгебраическая форма записи: a + ib, где a и b действительные числа.
Тригонометрическая форма: r cos φ + i sin φ, где r модуль числа, φ аргумент.
Показательная форма: r e φ, где r модуль, φ аргумент.

Равенство комплексных чисел

24:49

Два комплексных числа равны в алгебраической форме, если равны их действительные и мнимые части.
В показательной форме числа равны, если их модули равны нулю или равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2π.

Вычисление корня n-й степени из комплексного числа

27:39

Корень n-й степени из комплексного числа z равен числу, возведенному в степень n, равную z.
В показательной форме это условие равносильно равенству модулей и аргументов.
Если модуль равен нулю, то корень n-й степени равен нулю.

Введение в корни и их значения

30:58

Рассматривается корень n-й степени из положительного вещественного числа.
Утверждается, что корень n-й степени из положительного числа существует и единственен.
Подчеркивается различие между арифметическим и комплексным корнями.

Комплексная плоскость и значения корня

32:05

Число z делится на n и прибавляется 2πk/n, где k - произвольное целое.
Изображаются числа на комплексной плоскости для различных значений k.
При k = 0, 1, 2, 3 и т.д. получаются различные значения корня.

Примеры и свойства корней

35:12

Рассматриваются примеры кубических корней из единицы.
Подчеркивается различие между арифметическим и комплексным корнями.
Приводится формула для вычисления корня n-й степени из числа z.

Примеры с комплексными числами

39:59

Рассматриваются примеры квадратного корня из числа i.
Доказывается, что для квадратного корня всегда получаются два противоположных значения.
Приводится пример кубического корня из числа -1 - i.

Заключение и дополнительные замечания

44:50

Обсуждается возможность выражения корней в алгебраической форме.
Подчеркивается, что квадратный корень всегда можно выразить через косинусы и синусы.
Упоминается, что квадратный корень можно выразить через геровы функции.

Проверка формул

46:26

Формулы можно проверить путем вычислений.
Можно убедиться, что квадраты выражений дают икс плюс игрек.
Рекомендуется сначала проверить формулы, а затем использовать их для вычислений.

Возведение в целую степень

47:26

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел удобны для возведения в целую степень.
Пример: вычисление степени комплексного числа.
Использование показательной формы записи для упрощения вычислений.

Пример с комплексным числом

48:05

Возведение в сороковую степень и использование показательной формы записи.
Пример с комплексным числом: вычисление степени и упрощение выражения.
Использование свойств степеней и показательной формы записи для упрощения вычислений.

Пример с комплексным числом 2

51:20

Пример с комплексным числом: упрощение выражения и возведение в степень.
Использование показательной формы записи и свойств степеней.
Пример с комплексным числом: вычисление степени и упрощение выражения.

Пример с комплексным числом 3

53:31

Пример с комплексным числом: упрощение выражения и возведение в степень.
Использование показательной формы записи и свойств степеней.
Пример с комплексным числом: вычисление степени и упрощение выражения.

Примеры на нахождение модуля и аргумента

57:46

Примеры на нахождение модуля и аргумента комплексного числа.
Использование комплексной плоскости для определения значений.
Примеры с различными значениями модуля и аргумента.

Формула Муавра

1:01:46

Формула Муавра позволяет находить тригонометрические функции кратных аргументов.
Подстановка чисто мнимых экспонент в аргумент приводит к перемножению двух экспонент.
Косинус и синус в степени n равны косинусу и синусу в степени n/2.

Примеры использования формулы Муавра

1:04:10

Формула Муавра удобна для вычисления значений тригонометрических функций кратных аргументов и понижения степени.
Пример: понижение степени синуса до первой степени.
Применение формулы куба для вычисления значений.

Обратное преобразование

1:07:48

Формула понижения степени позволяет выразить синус тройного угла через синус исходного угла.
Пример: синус тройного угла равен три синуса исходного угла минус четыре синуса двойного угла.
Использование формулы Муавра для обратного преобразования.

Множества на комплексной плоскости

1:10:35

Множества на комплексной плоскости могут быть открытыми, замкнутыми, связанными и несвязными.
Пример множества M1: точки, для которых модуль z+1 больше единицы.
Использование вспомогательных переменных для построения множеств на комплексной плоскости.

Пример с аргументом

1:14:13

Пример множества точек z, для которых аргумент z+i меняется от π/2 до 3π/4.
Введение вспомогательной переменной z+i для построения множества на плоскости.
Переход от плоскости z+i к плоскости z с помощью вычитания единицы.