Математическое моделирование - Лекция 1 (09.02.07)

Введение в математическое моделирование

0:08

Моделирование — это замещение системы моделью и проведение экспериментов с моделью для получения информации о системе.
Примеры моделирования: изучение физики движения молекул газа, моделирование траектории беспилотного летательного аппарата.
Моделирование позволяет исследовать системы, прямой эксперимент с которыми трудновыполним или экономически невыгоден.

Определение системы

1:00

Система — это совокупность взаимосвязанных элементов, объединённых для достижения цели.
Элемент системы — минимальный неделимый объект, рассматриваемый как единое целое.

Классификация систем

1:54

Системы делятся на детерминированные, стохастические и неопределённые.
Детерминированные системы не содержат случайных факторов.
Стохастические системы содержат случайные факторы.
Неопределённые системы имеют неизвестные детерминированные факторы.

Подклассы детерминированных систем

2:50

Статические системы не изменяются со временем.
Динамические системы зависят от времени и делятся на непрерывные и дискретные.

Подклассы стохастических систем

3:21

Статистические системы содержат случайные величины.
Динамические системы содержат случайные процессы.

Подклассы неопределённых систем

4:01

Игровые системы: две стороны с взаимопротивоположными целями.
Природные системы: не до конца изученные природные факторы.
Системы с неизученными взаимосвязями: все параметры известны, но нет точного представления об их взаимодействии.

Примеры подсистем

4:30

Детерминированная статическая система: распределение товаров от поставщиков потребителям.
Детерминированная динамическая непрерывная система: полёт баллистического управляемого снаряда.
Детерминированная динамическая дискретная система: вызов лифта.
Стохастическая стационарная система: сигнализация об аварии.
Стохастическая динамическая непрерывная система: управление самолётом в трудных погодных условиях.
Стохастическая динамическая дискретная система: автосервис.

Примеры неопределённых систем

7:45

Игровая система: оборона города от авианалётов.
Природная система: выращивание картофеля.
Система с неизвестными взаимосвязями: прогноз загрязнения атмосферы.

Определение модели

9:55

Модель — это физически или абстрактный объект, отражающий процессы в исследуемой системе.
Основное требование к модели — адекватность.
Адекватность зависит от полноты и достоверности сведений о системе, учёта всех факторов, соответствия параметров модели реальным

Имитационные модели

12:58

Описывают поведение системы набором алгоритмов, которые реализуют ситуации в реальной системе.
Моделирующие алгоритмы позволяют отобразить реальное явление и получить информацию о поведении системы.
Часто описывают системы со случайными составляющими, результат заранее предсказать невозможно.

Интеллектуальные системы

13:43

Модели, которые умеют самообучаться на основе опыта и исходных данных.
Имитируют процесс принятия решений человеком.
Более подробно будут рассмотрены на седьмом семестре.

Пример детерминированной статической модели

14:23

Задача о купце, продающем двух коней с седлами.
Цена одного седла — 120 рублей, другого — 25 рублей.
Конь А с хорошим седлом втрое дороже коня Б с дешёвым седлом, а конь Б с хорошим седлом вдвое дешевле коня А с дешёвым седлом.
Решение: составление системы уравнений, нахождение цен коней.

Пример детерминированной статической системы

16:11

Цех производит стулья и столы.
На производство стула идёт 5 единиц материала, на стол — 20 единиц.
Прибыль от производства стула — 45 долларов, стола — 80 долларов.
Задача оптимизации: максимизация прибыли при ограничениях по ресурсам.

Детерминированная динамическая модель

18:50

Определение дальности полёта ракеты.
Ракета разгоняется в течение 20 секунд на активном участке, затем движется за счёт силы инерции.
Составление системы дифференциальных уравнений для описания движения ракеты.

Стахастические динамические дискретные системы

20:49

Определение минимального количества обслуживающего персонала банка.
Модель имитирует работу банка с учётом случайных моментов прихода клиентов.
Использование пакета моделирования для анализа работы банка.

Преимущества и недостатки моделирования

23:11

Аналитическое моделирование позволяет детально анализировать характеристики системы.
Имитационное моделирование учитывает сложные системы и факторы, исключаемые аналитическим моделированием.
Проверка адекватности модели сравнением предсказанного и фактического поведения системы.

Процесс аналитического моделирования

25:02

Построение математической модели системы.
Определение связи между процессами и явлениями.
Исключение несущественных факторов для упрощения модели.
Гипотеза о связи между величинами на основе данных эксперимента.

Примеры математических моделей

26:33

Системы дифференциальных уравнений в частных производных в задачах механики, теории теплопровод

Этапы построения математических моделей

26:47

Определение границ моделируемого объекта: выделение главных переменных, параметров и факторов.
Выбор управляемых и неуправляемых факторов: различение величин, значения которых можно варьировать, и фиксированных величин.
Обозначение управляемых переменных как неизвестных, например, x1, x2, x3 и т. д., а неуправляемых — конкретными числовыми значениями.

Определение связи управляемых и неуправляемых факторов

28:12

Описание взаимозависимости всех выделенных факторов системы в виде формул.
Установление ограничений на управляемые переменные, связанных с ограниченностью ресурсов и мощностей.
Запись взаимосвязей и ограничений в виде равенств и неравенств.

Выбор целевой функции

29:23

Целевая функция присутствует в моделях, если цель — расчёт оптимальных параметров системы.
Пример целевой функции: максимизация прибыли в модели для определения оптимального объёма капиталовложений.
Целевая функция представляет собой формулу, выражающую цель исследования.

Формулировка математической модели

30:17

Объединение результатов предыдущих этапов в виде математической модели.
Функции и зависимости в модели могут иметь произвольную форму: линейные зависимости, полиномы, дифференциальные уравнения и т. д.

Пример 1: Задача о конях и седлах

31:19

Определение границ моделируемого объекта: отбрасывание второстепенных факторов высота потолка, высота коней.
Выбор управляемых и неуправляемых переменных: цены коней x1 и x2, цены седел 120 и 25 рублей.
Определение связей между управляемыми и неуправляемыми факторами: соотношения цен коней с разными седлами.
Решение системы уравнений: x1 + 120 = 3 * x2 + 25, x1 + 25 = 2 * x2 + 120.
Отсутствие целевой функции, так как задача не является задачей оптимизации.
Формулировка математической модели: линейная система уравнений из двух уравнений.
Результаты: x1 = 735, x2 = 260.

Пример 2: Задача оптимизации производства

35:45

Определение границ моделируемого объекта: отбрасывание веса столов и стульев, наличия весов и гирь.
Выбор управляемых и неуправляемых факторов: число изготовленных стульев x1 и столов x2, расход древесины и пластика, запасы материалов на складе.
Определение связей между управляемыми и неуправляемыми факторами: расходы материалов и ограничения по запасам.
Ограничения: 5x1 +

Цель и целевая функция

39:21

Цель — достичь максимума прибыли при продаже столов и стульев.
Целевая функция отражает суммарную прибыль: 45 * x1 + 80 * x2.
Необходимо подобрать значения x1 и x2, чтобы функция достигла максимального значения при допустимых ограничениях.

Математическая модель

40:07

Задача оптимизации представлена как аналитическая математическая модель.
Модель включает пять выражений: целевую функцию, ограничения по запасу древесины и пластика, неравенства для x1 и x2.
x1 и x2 должны быть больше или равны нулю.

Задача о риске инвестирования

41:06

Необходимо сравнить два варианта инвестирования на основе вероятности получения прибыли.
Таблица содержит данные о прибыли и вероятностях для каждого варианта.

Определение границ и переменных

42:23

Определяются важные и неважные данные для задачи.
Управляемые параметры: средняя прибыль и оценка риска проекта.
Неуправляемые параметры: значение прибыли и вероятность получения дохода.

Связь управляемых и неуправляемых факторов

42:44

Вычисляется математическое ожидание для каждого варианта инвестирования.
Стандартное отклонение используется для оценки риска проекта.

Результаты и выбор варианта

44:50

Математическая модель включает выражения для математического ожидания и стандартного отклонения.
Сравнение характеристик позволяет принять решение о выборе варианта инвестирования.
Для первого варианта: мат. ожидание = 0.5, стандартное отклонение = 1.28.
Для второго варианта: мат. ожидание = 0.8, стандартное отклонение = 1.66.
Инвестор, склонный к риску, предпочтёт второй вариант, а осторожный инвестор выберет первый вариант.

Заключение

46:22

Анонс следующей лекции о методе наименьших квадратов и оценке адекватности моделей.

Математическое моделирование - Лекция 1 (09.02.07)

Ключевые темы и таймкоды

Введение в математическое моделирование

Определение системы

Классификация систем

Подклассы детерминированных систем

Подклассы стохастических систем

Подклассы неопределённых систем

Примеры подсистем

Примеры неопределённых систем

Определение модели

Имитационные модели

Интеллектуальные системы

Пример детерминированной статической модели

Пример детерминированной статической системы

Детерминированная динамическая модель

Стахастические динамические дискретные системы

Преимущества и недостатки моделирования

Процесс аналитического моделирования

Примеры математических моделей

Этапы построения математических моделей

Определение связи управляемых и неуправляемых факторов

Выбор целевой функции

Формулировка математической модели

Пример 1: Задача о конях и седлах

Пример 2: Задача оптимизации производства

Цель и целевая функция

Математическая модель

Задача о риске инвестирования

Определение границ и переменных

Связь управляемых и неуправляемых факторов

Результаты и выбор варианта

Заключение