Теория вероятностей 8. Условное математическое ожидание

YOUTUBE · 22.11.2025 06:48

Ключевые темы и таймкоды

Условное математическое ожидание

0:06

Видео объясняет, что условное математическое ожидание - это случайная величина, которая зависит от другого случайного события или случайной величины.
Условное математическое ожидание определяется как сумма произведений вероятности и значения случайной величины на каждом множестве из сигма-алгебры, которая порождает случайную величину.

Доказательство существования и единственности условного математического ожидания

9:51

Доказывается, что формула, определяющая условное математическое ожидание, подходит под определение и удовлетворяет свойствам измеримости и интегрального свойства.
Обсуждается вопрос существования и единственности условного математического ожидания, который будет рассмотрен в следующих видео.

Условное математическое ожидание

14:26

В видео обсуждается условное математическое ожидание случайной величины, которое определяется как математическое ожидание случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определенное значение.
Условное математическое ожидание является обобщением обычного математического ожидания и может быть определено как математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принадлежит определенному множеству.

Существование и единственность условного математического ожидания

24:48

Если условное математическое ожидание существует и единственно, то оно существует и единственно почти наверное.
Если условное математическое ожидание существует, то оно единственно почти наверное, если мат ожидания модуля случайной величины меньше бесконечности.
Условное математическое ожидание может быть определено как класс эквивалентности случайных величин, удовлетворяющих определению условного математического ожидания.

Заряд и теорема Радона-Никодима

28:20

Заряд - это функция, которая действует на аддитивную сигма-алгебру и является счетной.
Теорема Радона-Никодима утверждает, что если заряд аддитивен и действует на сигма-алгебру, то он является плотностью.

Определение условного математического ожидания

30:26

Условное математическое ожидание - это интеграл по интегралу некоторой функции по мере, которая задана на сигнале.
Если заряд является абсолютно непрерывным относительно меры, то существует плотность, которая является единственной и почти наверное случайной величиной.

Свойства условного математического ожидания

41:50

Если случайная величина измерима относительно сигма-алгебры, стоящей в условии, то условное математическое ожидание равно самой случайной величине.
Если случайная величина не измерима относительно сигма-алгебры, то условное математическое ожидание становится константой.
Если две сигма-алгебры независимы, то условное математическое ожидание становится константой.

Условное математическое ожидание

46:13

В видео обсуждается условное математическое ожидание случайной величины кси относительно сигма-алгебры ж.
Условное математическое ожидание определяется как математическое ожидание кси при условии ж.
Обсуждаются свойства условного математического ожидания, такие как измеримость, независимость и телескопическое свойство.

Формула полной вероятности

55:34

Условное математическое ожидание может быть рассмотрено как частный случай формулы полной вероятности.
В формуле полной вероятности сначала усредняются условные вероятности, а затем усредняются по всему множеству.
Это эквивалентно усреднению сразу по всему множеству, что и является условным математическим ожиданием.

Доказательство свойств условного математического ожидания

1:02:38

Доказывается, что из неравенства для всех возможных средних следует неравенство для самих случайных величин.
Линейность условного математического ожидания.

Аналог теоремы или бега

1:08:48

Если случайная величина стремится к другой случайной величине почти наверное, то условное математическое ожидание стремится к условному математическому ожиданию.

Предельный переход

1:15:06

Доказывается, что если случайные величины простые и их модули не превосходят модули других случайных величин, то условное математическое ожидание стремится к математическому ожиданию.