12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

YOUTUBE · 30.11.2025 07:31

Ключевые темы и таймкоды

Введение в метод Гаусса

0:00

Обсуждение метода Гаусса для решения систем линейных уравнений.
Система линейных уравнений с числом уравнений, не равным числу неизвестных.
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных через элементарные преобразования.

Матрицы системы уравнений

1:03

Основная матрица системы состоит из коэффициентов при неизвестных.
Расширенная матрица системы включает основную матрицу и столбец свободных членов.
Предыдущие методы решения систем не применимы, если основная матрица не квадратная.

Совместность системы уравнений

1:58

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Совместные системы делятся на определённые и неопределённые.
Критерий совместности системы: ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Применение теоремы Кронекера-Капелли

2:45

Если ранг основной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, система не имеет решений.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и числу переменных, система имеет единственное решение.
Если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше числа переменных, система имеет бесконечное множество решений.

Пример решения системы

4:36

Дана система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.
Выписывается расширенная матрица системы.
Определяется ранг матрицы и начинается процесс приведения матрицы к ступенчатому виду.

Приведение матрицы к ступенчатому виду

6:30

Перестановка строк для получения единицы в верхнем левом углу.
Выполнение элементарных преобразований для получения нулей под единицей.
Пример преобразований: прибавление элементов одной строки к элементам другой для получения нуля.

Завершение преобразований

10:38

Получение первой ступеньки с нулями под ней.
Подготовка к получению второй ступеньки путём умножения элементов четвёртой строки на минус единицу и перестановки строк.
Важность сохранения первой строки без изменений после получения первой ступеньки.

Преобразование матрицы

12:27

Вторая строка: 0, 4, 5, -6, -12.
Третья строка: 0, -1, -10, 7, 26.
Для получения двух нулей под второй ступенькой прибавляем вторую строку к третьей.

Эквивалентная матрица

13:23

Получаем эквивалентную матрицу: 1, 1, -3, -2, -4.
Вторая строка остаётся без изменений: 0, 1, 3, 1, -4.
Третья строка пересчитывается: 0 + 0 = 1, 1 - 1 = 0, 3 + -10 = -7, 1 + 7 = 8, -4 + 26 = 22.

Получение нуля

14:14

Умножаем элементы второй строки на -4 и прибавляем к элементам четвёртой строки.
Получаем ноль: -4 + 4 = 0.
Пересчитываем элементы: -7, -10, 4.

Третья ступенька

15:14

Умножаем элементы третьей строки на -1 и прибавляем к элементам четвёртой строки.
Получаем ноль: -7 - 7 = 0.

Преобразование четвёртой строки

16:11

Переписываем первые три строки без изменений.
Четвёртая строка пересчитывается: 0, -7, -8, -18, -22, -18.

Упрощение матрицы

17:07

Умножаем четвёртую строку на -1/18.
Матрица принимает ступенчатый вид.

Определение ранга матрицы

18:02

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатом виде.
В матрице четыре ненулевые строки, ранг равен четырём.
Ранг расширенной матрицы также равен четырём.

Восстановление системы уравнений

19:59

Восстанавливаем систему уравнений по ступенчатой матрице.
Получаем уравнения: x1 + x2 + 3x3 - 2x4 = -4, 0x1 + x2 + 3x3 + x4 = -4, -7x3 + 8x4 = 22, x4 = 1.

Решение системы

21:46