2.2 Системы линейных уравнений II

0:07

Решается задача о выражении фундаментальной матрицы через другую фундаментальную матрицу.
Доказывается, что если вторая фундаментальная матрица является невырожденной, то она также является фундаментальной.

7:20

Доказывается, что ранг матрицы не превосходит количество неизвестных минус ранг.
Если матрица является фундаментальной, то ее ранг не превосходит количество неизвестных минус ранг.

9:15

Доказывается, что если две системы линейных уравнений эквивалентны, то их ранги равны.
Если две системы линейных уравнений эквивалентны и имеют одинаковое количество неизвестных, то их ранги равны.

14:03

Доказывается, что фундаментальная матрица системы линейных уравнений задает линейную оболочку строк матрицы.
Если строки матрицы линейно независимы, то фундаментальная матрица системы задает линейную оболочку строк матрицы.

19:35

В видео обсуждается метод Гаусса для решения неоднородной системы линейных уравнений.
Для этого составляется расширенная матрица системы, которая получается добавлением столбца правых частей к матрице коэффициентов.
Затем расширенная матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.
Если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов, то система является совместной.
В противном случае система является несовместной.

28:55

В видео приводится формулировка теоремы Фридгольма, которая утверждает, что система неоднородных уравнений разрешима тогда и только тогда, когда для любого решения сопряженной однородной системы выполняется равенство.
Это обобщение теоремы Крона-Капелли, которая также дает критерии разрешимости неоднородной системы.

30:09

В видео объясняется, что если строки матрицы линейно независимы, то система будет разрешима для любого столбца правых частей.
Если же ранг матрицы коэффициентов меньше числа строк, то найдется столбец правых частей, для которого система будет неразрешимой.
Это объясняется тем, что если столбцы матрицы содержат базис пространства, то любой столбец можно разложить по ним, и система будет разрешима.

38:33

Если ранг матрицы равен количеству строк, то столбцы матрицы линейно независимы.
Если столбцы матрицы линейно независимы, то ранг матрицы равен количеству строк.

43:38

Если векторы выражаются через другие векторы, то большая система линейно зависима.
Если система векторов линейно зависима, то существует нетривиальная линейная зависимость.

51:44

Если в векторном пространстве есть два базиса, то их количество элементов одинаково.
Любая базисная система строк матрицы состоит из одинакового количества элементов.

Ключевые темы и таймкоды