Введение в тригонометрическую форму записи комплексного числа 0:00 Комплексное число можно записать в алгебраической форме a + ib. Существуют также тригонометрическая и показательная формы записи. Сегодня рассматривается тригонометрическая форма.
Переход к тригонометрической форме 0:52 Комплексное число можно изобразить на комплексной плоскости. Вектор числа обозначается как x + iy. Модуль числа обозначается как |z| и аргумент как α.
Выражение через модуль и аргумент 1:23 Выражаем x через косинус α, y через синус α. Получаем выражение z = |z|cosα + isinα. Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.
Стандартная и нестандартная тригонометрическая форма 2:37 Аргумент α может изменяться от -π до π. Если аргумент выходит за пределы этого диапазона, число записывается в нестандартной тригонометрической форме. Стандартная тригонометрическая форма подразумевает аргумент в диапазоне от -π до π.
Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме 5:47 Два комплексных числа равны, если их модули и аргументы равны. Это аналогично равенству действительной и мнимой частей в алгебраической форме.
Пример перевода комплексного числа из алгебраической в тригонометрическую форму 6:54 Пример: z = 1 + i. Находим модуль и аргумент: |z| = √2, α = π/4. Записываем тригонометрическую форму: |z|cosα + isinα.
Пример с модулем и аргументом 10:34 Находим модуль числа: -3 + 4 = 5. Выносим модуль за скобки: -3/5 + 4/5. Сравниваем косинус и синус: косинус альфа = -3/5, синус альфа = 4/5. Находим аргумент альфа: арккосинус -3/5.
Упрощение записи 12:46 Используем формулу арктангенса: арктангенс 4/3. Упрощаем запись: пи - арктангенс 4/3. Доказываем, что арктангенс и арккосинус равны.
Запись комплексного числа 13:57 Записываем модуль и аргумент: 5, арккосинус -3/5. Обозначаем аргумент буквой и записываем его значение.
Пример с модулем и аргументом 14:46 Находим модуль: -√3 - i. Выносим модуль за скобки: -√3/2 - i/2. Сравниваем косинус и синус: косинус альфа = -√3/2, синус альфа = -1/2. Находим аргумент: -5π/6.
Пример с модулем и аргументом 17:20 Находим модуль: 2 - 2√3. Выносим модуль за скобки: 2/4 - 2√3/2. Сравниваем косинус и синус: косинус альфа = 1/2, синус альфа = -√3/2. Находим аргумент: -π/3.
Заключение 19:02 Перевод чисел из алгебраической формы в тригонометрическую. Обратный процесс выполняется интуитивно. Алгоритм перевода: нахождение модуля, вынесение модуля за скобки, соответствие косинуса и синуса, нахождение аргумента, запись ответа.
