Математическая статистика (МОУ), Гуз С. А. 24.09.2021г.

YOUTUBE · 29.11.2025 06:10

Ключевые темы и таймкоды

Критерии согласия

0:09

Обсуждение критериев согласия, их количества и способов применения.
Введение понятия альтернативной гипотезы и функции мощности критерия.

Несмещенность критерия

11:00

Несмещенный критерий - это критерий, функция мощности которого больше либо равна альфа на всех ф ноль и меньше либо равна альфа на ф один.
Несмещенность - это хорошее свойство критерия, так как вероятность правильного решения должна быть большой, а вероятность неправильного решения - маленькой.

Критерии согласия

14:07

Обсуждается задача сравнения критериев согласия, где один критерий считается более мощным, если он обладает большей мощностью на заданном классе альтернатив.
Критерии сравниваются через функцию мощности, которая показывает вероятность принятия гипотезы при критической области.

Равномерно наиболее мощный критерий

21:57

Равномерно наиболее мощный критерий - это критерий, который равномерно мощнее всех других критериев на данном классе альтернатив.
Решение задачи может зависеть от конкретной альтернативы, и не всегда существует решение.

Оптимизационная задача

24:21

Рассматривается выбор одной из двух гипотез, где вероятность принятия гипотезы зависит от уровня ошибки первого и второго рода.
Задача формализуется как выбор критерия, который минимизирует ошибку второго рода при заданной ошибке первого рода.

Формализация задачи

30:29

Вводятся функции правдоподобия для основной гипотезы и альтернативы, которые должны быть непрерывными.
Задача формализуется для случая, когда и основная гипотеза, и альтернатива - известные функции распределения.

Функция правдоподобия

31:50

Функция правдоподобия определяется как плотность вероятности осуществления выборки из непрерывного распределения.
Если выборка дискретная, функция правдоподобия будет просто вероятностью осуществления выборки.

Оптимизационная задача

36:54

Необходимо найти область, обладающую свойством, что интеграл от заданной функции равен альфа, и при этом интеграл от другой функции достигает максимума.
Это означает, что интеграл от заданной функции должен быть больше, чем интеграл от любой другой функции.

Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона

41:31

Если у нас есть м+1 интегрируемых функций с общим носителем, то существует множество д, такое что интеграл от всех функций на этом множестве равен заданному значению.
Если область д обладает свойством, что интеграл от одной функции равен интегралу от другой, то разность интегралов будет положительной.

Доказательство неравенства

52:01

Доказывается неравенство, используя интегралы и условия из задачи.
Объясняется, что неравенство определяет вид области принятия гипотезы.

Применение неравенства

1:00:33

Проверяется, что полученное решение не смещено.
Обсуждаются два случая: лямда с чертой больше единицы и лямда с чертой меньше единицы.
В обоих случаях неравенство выполняется.

Осмысление результата

1:08:43

Обсуждаются ограничения, при которых неравенство справедливо.
Рассматривается случай, когда функции имеют одинаковый носитель.

Гипотезы и вероятности

1:08:59

Если носители гипотез не пересекаются, то задачи нет, так как вероятность принятия решения равна единице.
Если носители пересекаются, но не совпадают, то задачи нет, так как решение всегда одно.
Если носители совпадают, то возникает интервальная ситуация, которую можно решить с помощью статистики.

Невыполнение условия

1:10:34

Если условие не выполняется, то задачи с точки зрения статистики нет, так как значение отношения правдоподобия меняется не непрерывным образом.
Это условие гарантирует, что решение задачи может существовать, но не всегда.

Решение задачи

1:15:23

Задача состоит в принятии решения между двумя гипотезами, либо то, либо другое.
При заданном уровне ошибки, мы минимизируем одну ошибку, жертвуя другой.
Это многостальная оптимизация, и нельзя одновременно минимизировать обе ошибки.