Математическая статистика (МОУ), Гуз С. А. 01.10.2021г.

YOUTUBE · 29.11.2025 05:47

Ключевые темы и таймкоды

Наиболее мощный критерий

0:09

Рассматривается задача выбора между двумя простыми гипотезами, когда множество альтернатив ограничено одной альтернативой.
Используется лемма Неймана-Пирсона для построения наиболее мощного критерия.

Задача с множеством альтернатив

2:02

Рассматривается задача с множеством альтернатив, когда выборка принадлежит семейству функций распределения, но параметр тета неизвестен.
Требуется найти наиболее мощный критерий, который будет принимать решение либо в пользу гипотезы аш ноль, либо в пользу гипотезы аш один.

Условия для наиболее мощного критерия

8:35

Функция мощности должна быть не смещенной, то есть вероятность правильного решения должна быть больше, чем вероятность неправильного решения.
Функция мощности должна быть непрерывной и дифференцируемой.
Область принятия гипотезы должна быть не зависеть от альтернативы.

Построение равномерно наиболее мощного критерия

15:31

В видео обсуждается построение равномерно наиболее мощного критерия для двух простых гипотез.
Используется лемма Неймана-Пирсона, которая позволяет определить область, на которой функция мощности достигает максимального значения.
В случае дискретных случайных величин, функция правдоподобия становится вероятностью осуществления выборки, и леммы Неймана-Пирсона неприменимы.

Введение отношения правдоподобия

28:25

Вводится отношение правдоподобия для дискретных случайных величин.
Отношение правдоподобия определяется как отношение функции правдоподобия для каждой возможной точки выборки.
Эти точки упорядочиваются по величине отношения правдоподобия, что позволяет определить равномерно наиболее мощный критерий.

Определение ошибки природы

32:20

В области принятия гипотезы альфа, автор относит точки по правилу, что отношение правдоподобия больше либо равно альфа.
Если ошибка природы равна альфа, то множество точек, удовлетворяющих этому условию, должно быть оптимальным.

Расширение множества решений

39:31

Автор предлагает расширить множество своих решений, чтобы уменьшить ошибку природы.
Он вводит понятие решающей функции или критической функции, которая определяет вероятность принятия решения в пользу гипотезы альфа.

Определение решающей функции

43:22

Решающая функция определяется как вероятность принятия решения в пользу гипотезы альфа, которая зависит от отношения правдоподобия и вероятности принятия решения в пользу гипотезы альфа.
Ошибка природы равна альфа, если решающая функция имеет определенный вид.

Расчет ошибки первого рода

46:12

Ошибка первого рода возникает, когда автор принимает решение в пользу гипотезы альфа, хотя на самом деле истиной является гипотеза альфа ноль.
Автор использует формулу полной вероятности для расчета вероятности ошибки первого рода.

Определение функции мощности

48:29

Единица на вероятность события "б один" - это функция мощности, которая обеспечивает ошибку природы равной альфа.
Функция мощности - это мат ожидание в условиях истинности гипотезы "аш один".

Доказательство оптимальности решающего правила

55:59

Функция мощности принимает максимально возможное значение среди всех решающих правил, удовлетворяющих условию ошибки природы равной альфа.
Доказательство основано на неравенстве между функциями мощности и разности между ними.
В итоге, сумма по всем иксам и со звездой от икс минус фи от икс на эль икс аш один минус эль к эль икс аш ноль равна нулю.

Оптимальное решающее правило

1:06:45

В лекции обсуждается оптимальное решающее правило, которое обеспечивает максимальную мощность функции мощности.
Это правило позволяет принимать решение, основываясь на одном элементе выборки, что позволяет ускорить процесс принятия решения.

Последовательный анализ

1:09:25

Последовательный анализ позволяет анализировать информацию в текущем времени и принимать решение на основе первого элемента выборки.
Абрахамсфальт предложил модель, которая с вероятностью приведет к принятию решения за конечное число шагов.
В последовательном анализе можно фиксировать ошибки первого и второго рода и минимизировать среднее число шагов до принятия решения.

Решающее правило

1:17:48

Вид решающего правила выражается через отношение правдоподобия, что подчеркивает его универсальность.
Структура решающего правила понятна и проста, но проблема заключается в поиске порогов для удовлетворения всем условиям задачи.