Теория вероятностей, Волостнов А. С., лекция 14, 02.12.2023

YOUTUBE · 29.11.2025 04:25

Ключевые темы и таймкоды

Введение в марковские цепи

0:08

Марковские цепи с дискретным временем.
Множество состояний X должно быть счетным.
Последовательность случайных величин должна удовлетворять определенному условию.

Определение марковской цепи

1:06

Последовательность случайных величин называется марковской цепью, если для любого n и k выполнено равенство.
Вероятность события при условии другого события равна вероятности этого события.
Будущее не зависит от прошлого при фиксированном настоящем.

Лемма о независимости будущего и прошлого

6:12

Лемма утверждает, что вероятность события при условии другого события равна вероятности этого события.
Доказательство включает рассмотрение условных вероятностей и их произведение.
Лемма доказана при условии, что условные вероятности больше нуля.

Терминология марковских цепей

19:26

Множество состояний X называется фазовым пространством.
Вероятности перехода из одного состояния в другое называются переходными вероятностями.
Матрица переходных вероятностей задает распределение процесса на каждом шаге.

Пример марковской цепи

25:28

Пример случайного возбуждения.
Проверка марковского свойства для суммы независимых случайных величин.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности зависят только от текущего и предыдущего состояний.

Свойства переходных вероятностей

34:17

Переходная вероятность должна быть неотрицательной.
Сумма чисел в строке матрицы переходных вероятностей равна единице.
Если к равно н, то вероятность равна единице, если к не равно н, то равна нулю.
Уравнение Колмогорова-Чепмана: произведение матриц переходных вероятностей равно сумме произведений вероятностей.

Теорема о марковских цепях

42:40

Если переходные вероятности удовлетворяют свойствам из леммы, то существует марковская цепь с этими вероятностями.
Начальное распределение марковской цепи совпадает с начальным распределением переходных вероятностей.
Любая марковская цепь может быть задана начальным распределением и переходными вероятностями.

Единственность марковской цепи

47:18

Все конечномерные распределения марковской цепи однозначно определяются переходными вероятностями и начальным распределением.
Вероятность любого события можно вычислить через переходные вероятности и начальное распределение.

Однородные марковские цепи

51:50

В однородных марковских цепях матрица переходных вероятностей за один шаг равна матрице переходных вероятностей за любое количество шагов.
Матрица переходных вероятностей за один шаг называется стохастической матрицей.
Любая однородная марковская цепь может быть задана стохастической матрицей и начальным распределением.

Примеры однородных марковских цепей

1:01:18

Случайное блуждание и процесс Ньютона-Ватсона являются однородными марковскими цепями.
Однородную марковскую цепь можно задать графом с вероятностями на ребрах.
Однородные марковские цепи можно рассматривать как случайные блуждания на графах.

Стационарные и предельные распределения

1:06:06

Стационарное распределение пи равно пип.
Предельное распределение пи такое, что для любого начального распределения пи от нуля, распределение иксов стремится к пи.
Если начальное распределение стационарное, то распределение иксов не меняется.

Доказательство стационарности

1:12:51

Доказательство стационарности распределения.
Утверждение: если существует предельное распределение, то оно является единственным стационарным.
Пример: если существует два различных стационарных распределения, то предельного распределения не существует.

Примеры отсутствия предельного распределения

1:19:35

Пример матрицы, где нет предельного распределения: 1001.
Пример матрицы, где всегда переходим в другое состояние: 01010.
Пример матрицы, где все вероятности стремятся к нулю: 01000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000