Теория вероятностей, Волостнов А.С., 14.10.2022. Лекция 7.

YOUTUBE · 19.11.2025 09:08

Ключевые темы и таймкоды

Введение и неравенство Маркова

8:36

Приветствие и начало записи.
Обсуждение важности вероятностей вместо математических ожиданий и дисперсий.
Введение неравенства Маркова: вероятность того, что случайная величина не превосходит константу, не больше, чем одна вторая от математического ожидания.

Доказательство неравенства Маркова

10:38

Объяснение, что при конечном математическом ожидании значения величины с большой вероятностью будут маленькими.
Применение свойства математического ожидания для доказательства неравенства.

Неравенство Чебышева

12:33

Введение неравенства Чебышева: вероятность того, что случайная величина отличается от математического ожидания больше, чем на эпсилон, не превосходит дисперсию, деленную на эпсилон в квадрате.
Объяснение, что с большой вероятностью величина не сильно отличается от математического ожидания.

Доказательство неравенства Чебышева

14:36

Применение неравенства Маркова для случайной величины, равной модулю разности между случайной величиной и её математическим ожиданием.
Возведение неравенства в квадрат и использование определения дисперсии.

Закон больших чисел

15:49

Введение закона больших чисел: для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин вероятность того, что их среднее арифметическое отличается от математического ожидания больше, чем на эпсилон, стремится к нулю при увеличении числа наблюдений.
Объяснение важности закона больших чисел для интуитивного восприятия вероятности.

Доказательство закона больших чисел

21:59

Применение неравенства Чебышева для оценки вероятности.
Объяснение, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий.
Доказательство закона больших чисел через неравенство Чебышева.

Обобщение закона больших чисел

24:11

Обсуждение возможности улучшения закона больших чисел.
Введение обобщенного закона больших чисел: вероятность того, что среднее арифметическое отличается от математического ожидания больше, чем корень из n, стремится к нулю при увеличении n.

Сходимость случайных величин

28:01

Введение четырех видов сходимости случайных величин: почти наверное, по вероятности, в пространстве Lp и в пространстве Lp.
Объяснение каждого вида сходимости и их характеристик.

Сходимость по распределению

33:31

Сходимость по распределению также называется слабой сходимостью.
Обозначается как "d" или "W".
Определение: для любой непрерывной и ограниченной функции f, математическое ожидание f сходится к математическому ожиданию.

Теорема Александрова

35:05

Теорема Александрова утверждает, что сходимость по распределению эквивалентна сходимости функций распределения.
Функция распределения - это вероятность события, что случайная величина попадает на определенный луч.
Математическое ожидание индикатора события сходится к математическому ожиданию индикатора.

Единственность предела

39:32

Если случайные величины сходятся почти наверное, то они равны почти наверное.
Если сходятся по вероятности, то они равны по вероятности.
Если сходятся по распределению, то они равны с точностью до распределения.

Связь видов сходимости

42:28

Сходимость почти наверное следует сходимость по вероятности.
Сходимость по вероятности следует сходимость по распределению.
Сходимость по распределению следует сходимость по вероятности и почти наверное.

Доказательство критерия сходимости по вероятности

44:17

Критерий сходимости по вероятности: вероятность объединения событий стремится к нулю.
Вероятность объединения событий равна нулю, если каждое событие имеет нулевую вероятность.
Вероятность пересечения событий стремится к нулю, что доказывает критерий сходимости по вероятности.

Доказательство теоремы о связях видов сходимости

53:35

Сходимость почти наверное следует сходимость по вероятности.
Сходимость по вероятности следует сходимость по распределению.
Доказательство: вероятность объединения событий стремится к нулю, что доказывает сходимость по вероятности.

Доказательство теоремы

1:02:40

Вероятность события стремится к нулю.
Ожидание модуля разности не больше, чем ожидание модуля разности.
Разложение ожидания на три слагаемых для оценки.

Оценка слагаемых

1:04:51

Икс большое: ожидание разности на индикатор модуля больше р.
Игрек большое: ожидание разности на индикатор модуля не больше р и синус больше дельта.
Зет большое: ожидание разности на индикатор модуля меньше р и синус меньше дельта.

Оценка слагаемых

1:07:11

Икс: модуль разности не больше двух, вероятность не больше эпсилон.
Игрек: модуль разности не больше двух, вероятность не больше эпсилон.
Зет: индикатор не больше единицы, значение функции не больше эпсилон.

Сходимость ожидания

1:08:51

Сумма слагаемых оценивается как четыре с плюс один на эпсилон.
Ожидание сходится к нулю.

Контрпримеры

1:09:09

Сходимость по распределению не следует из сходимости по вероятности.
Пример с вероятностным пространством из двух элементов.
Сходимость по распределению есть, но не по вероятности.

Почти наверное не следует из почти наверное

1:12:37

Пример с вероятностным пространством на отрезке.
Сходимость почти наверное есть, но не почти наверное.
Ожидание модуля синус сходится к бесконечности.

Сходимость по вероятности не следует из почти наверное

1:15:00

Пример с вероятностным пространством на отрезке.
Сходимость по вероятности есть, но не почти наверное.
Ожидание модуля синус сходится к нулю, но не почти наверное.

Теорема Риса

1:21:16

Сходимость по вероятности не всегда следует из почти наверное.
Существует подпоследовательность, сходящаяся почти наверное.
Доказательство с использованием критериев сходимости почти наверное.

Оценка вероятности

1:25:24

Вероятность оценивается как объединение событий.
Вероятность объединения не больше суммы вероятностей.
Сумма вероятностей меньше 1/2 в степени n.

Доказательство сходимости

1:27:22

Сумма стремится к нулю, что доказывает сходимость.
Теорема Рисса доказана.

Следствие теоремы Рисса

1:27:44

Последовательность сходится по вероятности, если существует подпоследовательность, сходящаяся почти наверное.
Доказательство в одну сторону очевидно, в другую сторону почти очевидно.

Доказательство в другую сторону

1:29:25

Предположим, что последовательность не сходится.
Существует подпоследовательность, для которой вероятность не сходится к нулю.
Применение теоремы Рисса к подпоследовательности приводит к противоречию.

Заключение

1:32:25

Сходимость по вероятности доказана.
Вопросы по лекции отсутствуют, всем спасибо и до свидания.