Случайные процессы 7. Стационарные случайные процессы.

YOUTUBE · 28.11.2025 06:19

Ключевые темы и таймкоды

Стационарные случайные процессы

0:08

Лекция начинается с определения стационарного случайного процесса.
Стационарный процесс - это процесс, для которого распределение не меняется при сдвиге на любое число.

Определение стационарности

1:57

Стационарность в узком смысле - процесс, для которого мат.
ожидание икс т равняется мат.
ожиданию икс т плюс аш для любого аш.
Стационарность в широком смысле - процесс, для которого мат.
ожидание икс т равняется м, а корреляционная функция икс т и икс т плюс аш равняется р икс т и икс т плюс аш.

Гауссовские процессы

9:08

Гауссовский процесс задается набором конечномерных распределений и функциями мат.
ожидания и корреляционной функции.
Гауссовский процесс определяется как процесс, у которого мат.
ожидание икс т равняется м, а мат.
ожидание центрированной теа равняется эра те и т жта.
Если вектор имеет ну гауссовский вектор, то мат.
ожидание икс т равняется мт, а мат.
ожидание центрированной теа равняется эра те и т жта.

Стационарность гауссовских векторов

12:44

Исследуется стационарность гауссовских векторов, определяется их распределение.
Доказывается, что стационарность слабой влечет стационарность сильную.

Пример на стационарность

14:41

Исследуется случайный процесс, заданный через независимые случайные величины.
Доказывается, что процесс стационарен при фиксированных значениях случайных величин.

Доказательство стационарности

19:07

Используется преобразование координат для упрощения доказательства.
Доказывается, что вероятность принадлежности случайной величины к определенному множеству не зависит от сдвига координат.
В результате устанавливается стационарность случайного процесса.

Стационарные случайные процессы

22:42

В видео обсуждается случайный процесс, который имеет вид случайной величины на некоторой функции от времени.
Процесс будет стационарным, если эта функция имеет вид степени и омега-т.
Процесс будет слабо стационарным, если функции равны е в степени и омега-т, а их математические ожидания и корреляции не зависят от времени.

Скалярное произведение и корреляционная функция

25:05

В случае комплексных случайных процессов, корреляционная функция определяется как скалярное произведение эр-икс-т-1 и эр-икс-т-2.
Если процесс стационарен, корреляционная функция должна быть константой.

Представление стационарного процесса

30:38

В пределе, когда сумма превращается в интеграл, стационарный процесс можно представить в виде спектрального представления.
Это позволяет представить любой стационарный процесс в виде интеграла.

Спектральное представление случайных процессов

32:08

Вводится случайный процесс икс т, который является е в степени и омега т, где икс т - случайная величина, а омега т - случайная величина.
Определяется корреляционная функция случайного процесса икс т, которая зависит от разности аргументов е в степени и омега тау.

Теорема Бохнера-Хинчина

37:09

Теорема утверждает, что для случайного процесса икс т существует спектральная функция, которая имеет представление р(тау) = е в степени и омега тау дс(омега).
Эта функция является монотонно-неубывающей и непрерывной слева, а также удовлетворяет условию не отрицательной определенности.

Неотрицательно определенные функции

41:10

Неотрицательно определенные функции - это функции, которые можно использовать для построения нестационарных случайных процессов.
Для функции одного аргумента не отрицательная определенность равносильна непрерывности функции.

Корреляционная функция и спектральная плотность

45:10

Обсуждается связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью случайного процесса.
Рассматриваются примеры функций, которые могут быть корреляционными функциями, но не могут быть спектральными плотностями.

Представление Крамера

51:11

Теорема Крамера позволяет построить представление случайного процесса в виде интеграла по случайному процессу простого вида.
Обсуждается свойство ортогональности преобразований и независимость событий.

Корреляционная функция и представление Крамера

56:07

Если процесс стационарный в широком смысле и непрерывный в смысле среднего квадратичного, то существует процесс с ортогональными преобразованиями.
Корреляционная функция такого процесса может быть вычислена с помощью интеграла по р е в степени и омега-тау.

Спектральная плотность и мощность сигнала

58:04

В видео обсуждается спектральная плотность и мощность сигнала, которые характеризуют его мощность в определенном диапазоне частот.
Спектральная плотность - это мощность, приходящаяся на определенный диапазон частот, а мощность - это характеристика вклада определенной гармоники в сигнал.

Применение теории к обработке сигналов

1:01:57

Пример: обработка сигнала, поступающего на колебательный контур, с использованием спектральной плотности и мощности.
Задача: найти спектральную плотность сигнала, зная спектральную плотность входного сигнала.
Решение: используя теорему Крамера, можно связать спектральную плотность входного и выходного сигнала.