Введение в матричный метод 0:00 Рассматривается система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Записывается матрица коэффициентов системы и матрица-столбец неизвестных. Система записывается в виде матричного уравнения: $A \cdot X = B$.
Условия существования обратной матрицы 1:21 Для существования обратной матрицы необходимо, чтобы определитель матрицы $A$ не был равен нулю. Обратная матрица находится по формуле: $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot U$, где $U$ — союзная матрица.
Применение обратной матрицы 2:15 Умножение матричного уравнения на обратную матрицу слева и справа. После умножения получается единичная матрица, которая умножается на матрицу неизвестных, в результате получается решение системы.
Определение союзной матрицы 3:30 Союзная матрица составляется из алгебраических дополнений к транспонированной матрице. Алгебраические дополнения записываются в столбцы транспонированной матрицы.
Нахождение определителя матрицы 4:33 Определяется определитель матрицы $A$ с помощью метода Саррюса. Проверяется, что определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.
Нахождение алгебраических дополнений 6:33 Находятся алгебраические дополнения по формуле: $A_{ij} = -1^i + j \cdot \det \left(A - i,j\right)$. Минор определяется как определитель, полученный из матрицы $A$ путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.
Примеры нахождения алгебраических дополнений 7:30 Находятся $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$, $A_{21}$, $A_{22}$, $A_{23}$. Результаты вычислений показывают, что алгебраические дополнения имеют различные знаки в зависимости от суммы индексов.
Нахождение миноров 11:15 Для минора с суммой индексов 2+3=5 берём знак минус. Вычёркиваем вторую строку и третий столбец. Получаем определитель: 1, 2, 3, 8, 1, 2, 3, 8. Считаем: -1 * 8 - 3 * 2 = -2.
Нахождение алгебраических дополнений 12:12 Для минора с суммой индексов 3+1=4 берём знак минус. Вычёркиваем третью строку и первый столбец. Получаем определитель: 2, -1, 5, -6, 5, -6. Считаем: -2 * 6 - 5 = -7.
Нахождение обратной матрицы 13:11 Для минора с суммой индексов 3+3=6 берём знак минус. Вычёркиваем третью строку и третий столбец. Получаем определитель: 1, 2, 2, 5, 1, 2, 2, 5. Считаем: 5 - 4 = 1. Обратная матрица совпадает с союзной матрицей.
Запись союзной матрицы 14:06 Первый столбец: -2, 2, 1. Второй столбец: 12, -7, -2. Третий столбец: -7, 4, 1.
Решение системы уравнений 15:04 Умножаем обратную матрицу на столбец свободных членов: -2 * 3 + 12 * 1 + -7 * 1 = -6 + 12 - 7 = 6 - 7 - 1 = 3. Проверяем: 3 * 3 - 2 * 1 + 1 * 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
