1.1 Мера Лебега. Определение и свойства меры.

YOUTUBE · 30.11.2025 09:44

Ключевые темы и таймкоды

Введение в лекции по мере и интегралу Лебега

0:07

Лекции предназначены для студентов факультетов ЛФ и ФИВТ весеннего семестра 2021 года.
Видео ориентировано на задачи и теоретическую справку.
Будут рассмотрены примеры и типовые задачи по теме.

Введение в интеграл Лебега

1:34

Интеграл Лебега - это новшество 20 века, в отличие от классического интеграла Римана.
Для понимания интеграла Лебега нужно развить технику меры Лебега.

Конструкция меры Лебега

2:34

Мера Лебега обобщает понятия длины, площади и объема на сложные множества.
Определение меры будет дано поэтапно, начиная с простых множеств.

Свойства меры Лебега

4:16

Мера Лебега - это функция на семействе подмножеств, принимающая значения от 0 до +∞.
Мера пустого множества равна 0, а мера дизъюнктного объединения множеств равна сумме мер каждого множества.
Мера должна быть определена для всех достаточно простых множеств.

Определение меры Лебега для простых множеств

8:02

Мера Лебега для простых множеств определяется через промежутки и эмерные клетки.
Мера клетки - это стандартный объем параллелепипеда.
Мера пустого множества равна нулю.

Клеточные множества

12:27

Клеточное множество - это конечное дизъюнктное объединение клеток.
Мера клеточного множества - это сумма мер составляющих его клеток.
Определение меры клеточного множества корректно.

Внешняя мера Лебега

16:02

Внешняя мера Лебега определяется как инфимум сумм мер клеток по всем покрытиям множества.
Внешняя мера всегда больше или равна 0 и монотонно возрастает.
Внешняя мера клеточного множества совпадает с его мерой.

Измеримые множества

22:07

Множество измеримо, если его можно достаточно хорошо приблизить клеточным множеством.
Симметрическая разность множеств должна быть достаточно мала.
Измеримое множество - это множество, которое можно приблизить клеточным множеством с достаточной точностью.

Определение измеримого множества

24:28

Множество X из RN называется измеримым по Лебегу, если для любого ε > 0 существует клеточное множество A такое, что внешняя мера симметрической разности X и A меньше ε.
Это условие эквивалентно существованию последовательности клеточных множеств, для которых внешняя мера симметрической разности стремится к нулю.
Определение не охватывает все множества, так как клеточные множества ограничены.

Общее определение измеримого множества

27:56

Множество X из RN называется измеримым по Лебегу, если его можно представить в виде счетного объединения конечно-измеримых множеств.
Это определение включает множество X в виде счетного объединения измеримых множеств.

Эквивалентность определений

31:46

Два определения измеримого множества по Лебегу эквивалентны.
Это утверждение принимается на веру и будет использоваться в дальнейшем.

Мера измеримого множества

32:20

Мера измеримого множества по Лебегу равна его внешней мере.
Внешняя мера и мера по Лебегу совпадают на классе измеримых множеств.

Свойства измеримых множеств

35:41

Пустое множество и множество RN измеримы по Лебегу.
Объединения, пересечения и разности измеримых множеств также измеримы.
Счетные объединения и пересечения измеримых множеств также измеримы.

Свойства меры по Лебегу

40:47

Мера по Лебегу неотрицательна и монотонна.
Мера измеримого множества не превосходит суммы мер покрывающих его множеств.
Основное свойство меры по Лебегу — счетная аддитивность, что означает равенство меры дизъюного объединения измеримых множеств сумме мер этих множеств.

Непрерывность и инвариантность

44:28

Мера по Лебегу непрерывна и инвариантна относительно сдвигов.
Мера сдвига измеримого множества на вектор равна мере самого множества.

Преимущества и недостатки мер

47:56

Внешняя мера определена для всех множеств, а мера по Лебегу — только для измеримых.
Мера по Лебегу счетно-аддитивна, что делает её полезной для решения конкретных задач.