29.09-2 Векторные величины. Действия над векторами.

YOUTUBE · 18.11.2025 18:56

Ключевые темы и таймкоды

Введение в векторные величины

0:14

Перемещение тела определяется как вектор, проведённый из начального положения в конечное.
Урок посвящён векторным величинам и действиям над ними.

Примеры векторных величин

1:07

Векторные величины включают силу, электрическое и магнитное поле.
Скалярные величины имеют только численное значение, например, масса, плотность, путь.

Умножение вектора на скаляр

3:07

Вектор обозначается буквой с стрелкой над ней.
Модуль вектора обозначается буквой без знака вектора.
Умножение вектора на скаляр определяет модуль и направление нового вектора.

Правила умножения вектора на скаляр

6:22

Модуль вектора произведения равен произведению модуля множителя на модуль исходного вектора.
Направление вектора произведения определяется знаком множителя: сонаправлен, если множитель больше нуля, противоположно направлен, если множитель меньше нуля.
При множителе, равном нулю, вектор произведения равен нулевому вектору.

Примеры умножения векторов

8:48

Пример: вектор B = 3a, вектор D = -2a, вектор E = -a.
Построение векторов с помощью стрелок: направление стрелки показывает направление вектора, длина стрелки — его модуль.

Сложение векторов

11:45

Для сложения векторов существуют два правила: правило треугольника и правило параллелограмма.
Правило треугольника: совместить концы векторов и провести вектор от начала первого к концу второго.
Правило параллелограмма: поместить начала векторов в одну точку и провести диагональ параллелограмма через эту точку.

Выбор правила сложения

18:37

Правило треугольника удобнее для задач, где векторы не имеют общей точки.
Правило параллелограмма удобнее, когда векторы имеют общую точку, например, силы, приложенные к одному телу.
В зависимости от задачи можно использовать оба правила.

Правило треугольника для сложения векторов

19:29

Правило треугольника удобно для сложения нескольких векторов.
Пример сложения трёх векторов: $k = a + b + c$.
Сначала находим сумму векторов $a + b$, затем добавляем вектор $c$ к полученному результату.

Правило многоугольника

21:22

Правило многоугольника позволяет складывать любое количество векторов, включая бесконечное.
В оптике используется для расчёта дифракции света.
Вместо многоугольника получается кривая, например, спираль Корню.

Вычитание векторов

23:22

Вычитание векторов можно свести к сложению.
Два способа вычитания: по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.
Для вычитания по правилу треугольника сначала строим вектор $-b$, затем складываем его с вектором $a$.

Правило треугольника для вычитания

27:22

Помещаем векторы $a$ и $b$ на операционное поле так, чтобы они исходили из общего начала.
Формируем треугольник из этих трёх векторов.
Направление вектора разности определяется по правилу: «у кого забирают, на того и смотрят».

Параллелограмм и вычитание

29:59

В параллелограмме, построенном на двух векторах, можно найти и сумму, и разность.
Диагональ параллелограмма, проходящая через общую точку векторов, представляет собой сумму.
Вторая диагональ представляет собой разность векторов.

Практические упражнения

32:37

Рисуем два вектора на бумаге в клеточку.
Строим сумму векторов по правилу треугольника и параллелограмма.
Проверяем, что полученные векторы имеют одинаковый модуль и направление.

Вычитание векторов по правилу треугольника

36:37

Строим вектор $-b$ и складываем его с вектором $a$.
Получаем вектор разности по правилу треугольника.
Проверяем, что вектор разности, полученный разными способами, имеет одинаковый модуль и направление.

Построение вектора C

40:29

Даны векторы A и B.
Необходимо построить вектор C, равный 3A + 2B.
Сначала строится вектор 3A, его модуль — 6 клеточек.

Сложение векторов

41:29

Строится вектор 2B, его модуль — 6 клеточек вправо.
Под линейку проводится результирующий вектор C.
Вектор C равен 3A + 2B.

Методы сложения и вычитания векторов

42:22

Сложение векторов выполняется двумя методами: методом треугольника и методом параллелограмма.
Вычитание векторов также возможно двумя способами: сведением вычитания к сложению и по правилам треугольников.
Умножение вектора на число выполняется по определённым правилам.

Определение модуля вектора

42:22

Для определения модуля вектора C можно использовать линейку и теорему Пифагора, если векторы образуют прямоугольный треугольник.
Если векторы образуют другой угол, потребуется дополнительный анализ.
Решение этой задачи будет рассмотрено на следующем уроке.