Тимашев Д.А. - Линейная алгебра и геометрия. Лекции - 1. Векторные пространства

YOUTUBE · 27.11.2025 03:05

Ключевые темы и таймкоды

Введение в линейную алгебру и геометрию

0:19

Курс называется «Линейная алгебра и геометрия».
Базовое понятие — векторное пространство.
Все объекты курса связаны с векторными пространствами.

Определение векторного пространства

1:43

Фиксируется основное поле K.
Примеры полей: действительные числа, комплексные числа, поле вычетов по модулю простого числа.
Элементы основного поля называются скалярами.

Структура векторного пространства

3:27

Векторное пространство над полем K — это множество V с двумя операциями: сложением векторов и умножением векторов на скаляры.
Элементы множества V называются векторами.

Операции в векторном пространстве

5:11

Сложение векторов: бинарная операция, которая сопоставляет каждой паре векторов третий вектор — их сумму.
Умножение векторов на скаляры: бинарная операция, где один аргумент — скаляр, а другой — вектор.

Аксиомы векторного пространства

7:19

Операции сложения и умножения должны удовлетворять аксиомам векторного пространства.
Аксиомы сложения: коммутативность, ассоциативность, наличие нулевого вектора и противоположного вектора.
Аксиомы умножения: ассоциативность, дистрибутивность по векторам и скалярам, аксиома нормировки.

Пример векторного пространства — пространство геометрических векторов

14:44

Геометрический вектор — направленный отрезок без закреплённой начальной точки.
Основное поле — поле действительных чисел.
Операции определяются геометрически: сложение — правило параллелограмма, умножение — растяжение или сжатие отрезка.

Векторы и их свойства

16:50

Вектор λv пропорционален вектору v и лежит на той же прямой.
Если λ > 1, вектор λv параллелен v, если λ < 1 — коллинеарен, а если λ = 0, то это нулевой вектор.

Арифметическое векторное пространство

17:28

Арифметическое векторное пространство обозначается как K^n.
Элементы пространства — упорядоченные наборы из n элементов основного поля.
Операции над векторами определяются покомпонентно: сумма векторов — это вектор, компоненты которого равны сумме компонент исходных векторов, а умножение на скаляр — это вектор, компоненты которого равны произведению компонент исходного вектора на скаляр.

Пространство матриц

19:12

Пространство матриц размера m на n над полем K является векторным пространством.
Матрицы можно развернуть в длинную строку или столбец, что делает их аналогичными векторам в арифметическом пространстве.
Операции сложения и умножения матриц выполняются покомпонентно.

Пространство функций

21:00

Пространство функций на множестве X со значениями в поле K обозначается как F(X,K).
Сложение функций определяется как сумма их значений в каждой точке.
Умножение функции на скаляр определяется как произведение значения функции на скаляр в каждой точке.

Пространство многочленов

23:23

Пространство многочленов от одной переменной над полем K.
Многочлены можно складывать и умножать на элементы поля, операции удовлетворяют аксиомам векторного пространства.

Расширение полей

24:23

Расширение полей: большее поле является векторным пространством над меньшим полем.
Примеры: поле вещественных чисел как векторное пространство над полем рациональных чисел, поле комплексных чисел как векторное пространство над полем вещественных чисел.

Свойства векторов

26:35

Нулевой вектор существует и единственен.
У каждого вектора существует единственный противоположный вектор.
Произведение нулевого вектора на произвольный скаляр равно нулевому вектору.
Произведение вектора на нулевой скаляр равно нулевому вектору.

Доказательства свойств

30:26

Доказательство существования единственного нулевого вектора: если есть два нулевых вектора, их сумма равна нулю, что невозможно.
Доказательство существования единственного противоположного вектора: если есть два противоположных вектора, их сумма равна нулевому вектору, что также невозможно.
Доказательство произведения ну

Противоположный вектор

33:30

Умножение вектора на минус единицу даёт противоположный вектор.
Проверка свойства: сумма исходного вектора и противоположного равна нулю.
Доказательство: использование свойства нормировки и дистрибутивности по скалярам.

Умножение векторов на скаляры

35:08

Порядок множителей при умножении на скаляры не важен.
Определение: v * λ = λ * v.
Ассоциативность и другие аксиомы векторного пространства сохраняются при любом порядке множителей.

Линейная комбинация векторов

37:36

Линейная комбинация векторов — это выражение вида λ1 * v1 + λ2 * v2 + ... + λm * vm.
Тривиальная линейная комбинация имеет все коэффициенты, равные нулю.
Нетривиальная линейная комбинация может быть равна нулю, даже если её значение отлично от нуля.

Линейная зависимость

40:08

Система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю.
Основная лемма о линейной зависимости: если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима.

Порождение векторного пространства

46:28

Система векторов порождает векторное пространство, если любой вектор из пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из этой системы.
Эквивалентность условий: система линейно независима и порождает пространство или является максимальной линейно независимой системой.

Доказательство эквивалентности

49:20

Если система линейно независима и порождает пространство, то она максимальна.
Доказательство: добавление любого вектора делает систему линейно зависимой.
Обратная ситуация: если система максимальна, то она порождает пространство.

Линейная зависимость и максимальность

51:28

Добавление вектора в систему с делает её линейно зависимой.
Существует нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю.
Коэффициент при векторе в не равен нулю, иначе система была бы линейно зависимой.

Порождение пространства

53:20

Вектор в выражается через векторы системы с.
Система с порождает пространство в.
Эквивалентные условия: максимальная линейно независимая подсистема и линейно независимая система, порождающая всё пространство.

Определение базиса

54:17

Базис — это система векторов, удовлетворяющая эквивалентным условиям.
Базисные векторы обозначаются буквой e.
Базис — это упорядоченный набор векторов.

Разложение вектора по базису

56:09

Любой вектор можно разложить по базису.
Разложение единственно.
Коэффициенты в разложении называются координатами вектора.

Матричная запись разложения

59:01

Разложение вектора по базису записывается в матричном виде.
Матрица базисных векторов умножается на столбец координат вектора.

Размерность векторного пространства

1:00:49

Во всех базисах одного и того же пространства одинаковое число векторов.
Это число называется размерностью пространства.

Примеры базисов

1:03:08

В арифметическом пространстве стандартный базис состоит из n векторов.
В пространстве матриц стандартный базис — матричные единицы.
В пространстве комплексных чисел базис состоит из единицы и мнимой единицы.

Геометрическое представление комплексных чисел

1:07:57

Комплексные числа можно представить как векторы на комплексной плоскости.
Координаты комплексного числа в базисе — его вещественная и мнимая части.
Единственность разложения по базису следует из свойств алгебраической формы записи комплексного числа.

Пространство многочленов от одной переменной

1:09:23

В пространстве многочленов от одной переменной нет конечного базиса.
Любой конечный набор одночленов с нулевой степени до n-й степени линейно независим.
Это означает, что в пространстве многочленов существует сколь угодно большая линейно независимая система векторов.

Категории векторных пространств

1:11:17

Векторные пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные.
Пространство многочленов относится к бесконечномерным пространствам.
Линейная алгебра изучает в основном конечномерные пространства.

Изоморфизм векторных пространств

1:13:20

Изоморфизм — это отображение между двумя векторными пространствами, которое удовлетворяет двум свойствам: взаимно однозначно и согласовано с операциями сложения и умножения на скаляры.
Изоморфные пространства имеют одинаковые свойства с точки зрения линейной алгебры.

Теорема об изоморфизме

1:19:00

Любое конечномерное векторное пространство изоморфно арифметическому векторному пространству столбцов высоты n.
Доказательство: выбор базиса в пространстве и построение отображения, которое сопоставляет столбцу координат вектор с этими координатами.

Пример изоморфизма

1:22:33

Пространство геометрических векторов размерности 3 изоморфно арифметическому пространству R³.
Любая тройка некомпланарных ненулевых векторов образует базис в этом пространстве.
Запись вектора в координатах по этому базису даёт изоморфизм с пространством R³.