0 лекция. Математическая статистика (Гуз С.А.)

YOUTUBE · 30.11.2025 10:01

Ключевые темы и таймкоды

Введение в курс

0:06

Преподаватель Сергей Анатольевич Гуза представляет курс математической статистики.
Курс будет проходить в удаленном режиме, как лекции, так и семинары.
В конце курса ожидается экзамен по той же процедуре, что и для случайных процессов.

Основные цели курса

1:00

Курс не является разделом математики, а скорее аппаратом для анализа данных.
Цель курса - научить студентов понимать достоверность утверждений и использовать математические методы для проверки данных.

Литература и организационные моменты

2:46

Рекомендуется использовать пособие "Математическая статистика" Медведева и Ивченко.
Важно посещать занятия, но можно смотреть записи, если нет времени.
Онлайн-образование оказалось эффективным, что подтверждается улучшением результатов ЕГЭ.

Место математической статистики в курсе

5:10

Математическая статистика является третьим курсом после теории вероятностей и случайных процессов.
В отличие от теории вероятностей и случайных процессов, математическая статистика позволяет получать исходные данные из анализа реальности.

Статистическое мышление

9:33

Важно понимать и чувствовать предмет, а не просто применять формулы бездумно.
Преподаватель будет стремиться привить студентам культуру статистического мышления.

Повторение теории вероятностей

11:25

Курс будет включать повторение теории вероятностей, так как она является основным аппаратом математической статистики.
Повторение поможет студентам лучше понять и усвоить материал.

Пример плотности распределения

13:40

Преподаватель демонстрирует плотность распределения гамма-распределения.

Введение в плотность распределения

14:38

Важность понимания ключевых моментов в теории вероятности.
Плотность распределения должна быть неотрицательной и интегрироваться до единицы.
Пример функции плотности распределения и её свойства.

Гамма-функция

15:38

Определение гамма-функции и её свойства.
Примеры использования гамма-функции в интегралах.
Проверка интеграла от гамма-функции.

Интегрирование гамма-функции

17:20

Интегрирование гамма-функции с комплексным параметром.
Замена переменных и преобразование интеграла.
Предел интеграла и его значение.

Характеристическая функция

24:21

Определение характеристической функции случайной величины.
Интеграл для вычисления характеристической функции.
Преобразование интеграла и использование результатов.

Введение в характеристическую функцию гамма-распределения

27:55

Рассматривается характеристическая функция гамма-распределения.
Альфа и лямбда используются для получения характеристической функции.
Гамма-функция сокращается, и результат записывается в виде элементарного преобразования.

Введение распределения хи-квадрат

29:09

Вводится распределение хи-квадрат с k степенями свободы.
Хи-квадрат с k степенями свободы является гамма-распределением с параметрами альфа = 1/2 и лямбда = k/2.

Свойства распределения хи-квадрат

30:10

Рассматриваются свойства распределения хи-квадрат.
Сумма независимых случайных величин хи-квадрат также имеет хи-квадрат распределение.
Доказательство свойства с помощью характеристических функций.

Второе свойство распределения хи-квадрат

34:11

Рассматривается случайный вектор с нормальным распределением.
Квадратичная форма этого вектора имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы, равным размеру вектора.
Доказательство с помощью характеристических функций.

Пример с нормальной случайной величиной

36:45

Рассматривается нормальная случайная величина и её связь с хи-квадрат распределением.
Построение характеристической функции для нормированной случайной величины.
Интегрирование по комплексной области для доказательства свойства.

Интеграл и характеристическая функция

43:35

Интеграл с пределами от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Четность подынтегральной функции позволяет перейти к интегралу по контуру.
Характеристическая функция случайной величины равна единице минус два и т в степени минус одна вторая.

Характеристическая функция квадратичной формы

46:03

Построение характеристической функции для квадратичной формы.
Плотность распределения вектора дзета.
Интегрирование по многомерной плотности вектора.

Свойства распределения хи-квадрат

50:21

Распределение хи-квадрат с k степенями свободы.
Преобразование квадратичной формы в сумму квадратов независимых нормальных случайных величин.
Историческое происхождение и связь с нормальным распределением.

Предельные свойства распределения хи-квадрат

53:09

Распределение хи-квадрат при больших k.
Центральная предельная теорема и стандартное нормальное распределение.
Предельные свойства и использование гамма-распределения.

Математическое ожидание и дисперсия хи-квадрат

56:01

Математическое ожидание и дисперсия хи-квадрат.
Использование гамма-функции для расчета параметров.
Проверка правильности расчетов и использование результатов.

Заключение и дальнейшие распределения

1:02:32

Важность распределения хи-квадрат и его свойства.
Переход к другим распределениям, таким как распределение Фишера и распределение Стьюдента.

Введение в распределение Фишера

1:03:49

Распределение Фишера определяется как отношение двух случайных величин.
Случайная величина у принадлежит распределению хи-квадрат с k1 степенями свободы, а в - хи-квадрат с k2 степенями свободы.
Эти величины независимы.

Эквивалентные представления

1:05:07

Распределение Фишера можно представить как отношение сумм случайных величин.
Все случайные величины кси являются стандартными нормально распределенными.
Эти представления эквивалентны.

Построение распределения

1:06:02

Важно уметь строить распределения для работы с данными.
В статистике моделируются случайные величины.
Построение распределений требует знания теории вероятности.

Функция распределения

1:07:26

Функция распределения случайной величины пси определяется как вероятность события пси меньше икса.
Пси - это отношение хи-квадратов.
Для расчета вероятности нужно знать совместную плотность распределения у и в.

Совместная плотность распределения

1:10:30

У и в - независимые случайные величины, поэтому совместная плотность - произведение плотностей у и в.
Плотности у и в - хи-квадраты с соответствующими степенями свободы.
Переход к новым переменным позволяет упростить интеграл.

Интегрирование и дифференцирование

1:12:21

Переход к новым переменным упрощает интеграл.
Внутренний интеграл по игрек и внешний по зет.
Дифференцирование двойного интеграла по иксу.

Плотность распределения

1:16:09

Плотность распределения пси связана с функцией распределения через дифференцирование.
Интеграл с переменным верхним пределом дифференцируется по верхнему пределу.
В итоге получается плотность распределения Фишера.

Моментные функции

1:20:42

Для расчета моментных функций нужно взять интеграл от плотности распределения.
Интеграл берется от нуля до бесконечности.
Моментные функции включают степени икс и гамма-функции.

Введение и цель

1:22:14

Обещание не интегрировать, а просто соображать.
Интеграл напоминает выражение с плотностью распределения.

Плотность распределения

1:22:39

Интеграл от плотности распределения должен быть равен гамма-функции.
Гамма-функция от суммы лямбда-функций лямбда-один и лямбда-два.

Переобозначение

1:23:20

Вынесение константы и осмысление выражения.
Использование метода переобозначения для упрощения.

Применение метода

1:24:12

Лямбда-один с волной равно лямбда-один плюс эль.
Лямбда-два с волной равно лямбда-два минус эль.

Результат интегрирования

1:24:48

Гамма-функция лямбда-один с волной равна лямбда-один плюс эль.
Гамма-функция лямбда-два с волной равна лямбда-два минус эль.
Сумма гамма-функций лямбда-один и лямбда-два сокращается.

Заключение

1:25:40

Результат интегрирования без интегрирования.
Демонстрация подходов, которые будут использоваться в дальнейшем.
Завершение и благодарность.