Дифференциальное исчисление функции одной переменной

YOUTUBE · 30.11.2025 07:54

Ключевые темы и таймкоды

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

0:00

Определение производной функции: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции.
Физический смысл производной: скорость изменения функции.

Теорема о дифференцируемости и непрерывности

2:07

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: из условия непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Правила дифференцирования

4:33

Производная константы равна нулю.
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций.
Производная произведения функций равна произведению производной первого множителя на второй плюс производная второго множителя на первый.
Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя минус числитель на производную знаменателя.

Таблица производных

6:51

Производные степенной функции, показательной функции, логарифмической функции, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций.

Производные сложных функций

12:05

Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Нахождение производной неявно заданной функции

15:56

Если функция задана уравнением, в котором переменные связаны выражением, то функция называется неявно заданной.
Для нахождения производной неявно заданной функции дифференцируют обе части уравнения, используя правила дифференцирования.

Производная функции

18:59

Производная функции, заданной параметрически, равна производной обратной функции, деленной на производную функции икса.
Пример: производная арксинуса икс равна 1/cos(x).

Производная сложной показательной функции

25:49

Логарифмическое дифференцирование: сначала прологарифмировать функцию, затем дифференцировать.
Пример: производная сложной показательной функции равна у в степени в на натуральный логарифм у и в- штрих.

Производные высших порядков

33:08

Производные высших порядков обозначаются как игрек с двумя штрихами или ф от икс с двумя штрихами.
Пример: вторая производная равна игрек с двумя штрихами, третья производная равна игрек с тремя штрихами и т.д.

Дифференциал функции

35:06

Дифференциал функции равен главной части превращения функции, умноженной на превращение аргумента.
Пример: дифференциал арксинуса икс равен 1/cos(x) дельта икс.

Дифференциалы и производные

37:36

В видео рассматривается пример нахождения дифференциала функции y=x.
Дифференциал независимой переменной x равен приращению x, а дифференциал функции y равен произведению дифференциала x на производную функции y.

Дифференциалы высших порядков

39:28

Дифференциал функции - это тоже функция, поэтому можно найти дифференциал от дифференциала функции.
Дифференциал второго порядка обозначается как d2x и находится как производная от первой производной функции.
Аналогично, дифференциал третьего порядка обозначается как d3x и находится как производная от второй производной функции.