Лекция 3: Матрицы; обратные матрицы | MIT 18.02 Многовариантное исчисление, осень 2007

YOUTUBE · 25.11.2025 03:00

Ключевые темы и таймкоды

Перекрестное произведение векторов

0:00

Вспоминаем определение перекрестного произведения и его формулу.
Геометрическое определение: площадь параллелограмма, образованного векторами, равна длине перекрестного произведения.
Правило правой руки для определения направления перекрестного произведения.

Уравнение плоскости

5:32

Уравнение плоскости, содержащей три точки, можно найти, используя определитель этих векторов.
Альтернативный способ: найти нормальный вектор плоскости и проверить, что точка p перпендикулярна ему.

Матрицы

14:16

Матрицы используются для представления линейных зависимостей между переменными.
Матрицы могут быть использованы для нахождения уравнения плоскости, содержащей три точки.

Матрицы и их свойства

15:29

В видео обсуждается, как матрицы могут быть использованы для преобразования координат.
Приводится пример, где матрица может быть использована для преобразования координат из одной системы в другую.
Объясняется, как матрицы могут быть умножены друг на друга, и что это означает с точки зрения преобразования координат.

Умножение матриц

25:37

В видео объясняется, как умножать матрицы, и что это означает с точки зрения преобразования координат.
Упоминается, что умножение матриц ассоциативно, что означает, что порядок умножения не имеет значения.
Также обсуждается, что матрицы идентичности - это матрицы, которые ничего не делают с координатами, и как они могут быть использованы для проверки правильности умножения матриц.

Матрицы и их свойства

32:28

В плоскости рассматривается преобразование, которое выполняет поворот на 90 градусов против часовой стрелки.
Утверждается, что это задается матрицей 0, 1, -1.
Объясняется, как использовать матрицы для упрощения вычислений.

Инвертирование матриц

37:31

Объясняется, как инвертировать матрицы и их использование для решения линейных систем.
Упоминается, что для инвертирования матриц можно использовать калькулятор.

Сопряженные матрицы и их использование

44:03

Объясняется, как найти сопряженную матрицу и как ее использовать для инвертирования матрицы.
Упоминается, что для небольших матриц можно использовать формулу для инвертирования, но для больших матриц используются другие алгоритмы.

Перекрестное произведение

48:39

Знак минус в перекрестном произведении связан с тем, как мы получаем знак минус для 2-й записи.

Транспонирование

48:59

Транспонирование означает считывание строк матрицы и запись их в виде столбцов или наоборот.
Меняем местами строки и столбцы, чтобы получить транспонированную матрицу.

Сопряженная матрица

49:36

Последний шаг - деление на определитель матрицы.
Определитель матрицы равен трем, и обратная величина равна одной трети полученной матрицы.

Решение линейной системы

50:38

Обратная величина матрицы позволяет найти "х" в терминах "у" и "у" в терминах "х".
Умножение "у" на единицы, двойки и тройки дает обратно "х" - один, два и три.