Введение 0:00 Продолжаем учиться вычислять пределы последовательности. Рассматриваем пределы определённых видов.
Пример 1 0:11 Вычисляем предел последовательности: предел при n, стремящемся к бесконечности. Под пределом стоит разность двух бесконечно больших величин. Оцениваем степени n: уменьшаемое и вычитаемое имеют одинаковую степень n.
Преобразование неопределённости 1:06 Получаем неопределённость «бесконечность минус бесконечность». Преобразуем её к виду «бесконечность делить на бесконечность». Используем сопряжённое выражение: корень n² - 1 + n.
Преобразование предела 2:05 Умножаем и делим выражение под знаком предела на сопряжённое выражение. Получаем предел с числителем -n и знаменателем корень n² - 1 + n.
Анализ результата 4:09 В знаменателе сумма двух бесконечно больших величин. Сумма двух бесконечно больших величин также является бесконечно большой величиной. Получаем неопределённость вида «бесконечность делить на бесконечность».
Упрощение предела 5:09 Определяем самую старшую степень n: n в первой степени. Почленно делим числитель и знаменатель на n. Упрощаем предел, используя свойства бесконечно больших и малых величин.
Результат 6:46 В числителе -1, в знаменателе -1/n² + 1. Применяем свойство бесконечно большой величины: обратная к ней является бесконечно малой. Ответ: -1/2.
Пример 2 7:43 Вычисляем предел последовательности: предел при n, стремящемся к бесконечности. Сумма двух бесконечно больших величин является бесконечно большой величиной. Ответ: бесконечность.
Пример 3 8:39 Вычисляем предел последовательности: предел при n, стремящемся к бесконечности. Разность двух бесконечно больших величин приводит к неопределённости. Приводим неопределённость к виду «бесконечность делить на бесконечность» с помощью формулы разности кубов.
Преобразование и результат 10:10 Применяем формулу разности кубов для преобразования предела. Получаем предел с числителем n³ - корень кубический из n³ + 1 и знаменателем сумма бесконечно больших величин.
