Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

YOUTUBE · 16.11.2025 04:24

Ключевые темы и таймкоды

Введение

0:37

Рассказчик представляет себя и начинает историю о тех, кто бросает вызов тьме незнания.
Подчёркивается, что финал истории зависит от действий зрителей.

Начало изучения определителей

1:08

Переход к изучению определителей второго, третьего и более высокого порядка.
Объяснение, что определитель — это скалярная величина, получаемая по определённому правилу.

Определители второго порядка

1:34

Определение матрицы как прямоугольной таблицы чисел с строками и столбцами.
Пример матрицы второго порядка и объяснение индексов строк и столбцов.
Формула для вычисления определителя второго порядка: перемножение элементов на главной диагонали и вычитание произведения элементов на побочной диагонали.

Пример вычисления определителя

3:27

Пример вычисления определителя для матрицы 1, 3, 4, 5: 1 * 5 - 3 * 4 = -7.
Указание на то, что определитель может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Определители третьего порядка

4:27

Введение в определители третьего порядка и их важность в экзаменационных билетах.
Описание двух методов вычисления определителей: метод треугольников и метод разложения по строке или столбцу.

Метод треугольников

5:25

Объяснение метода треугольников: перемножение элементов главной диагонали и достраивание треугольников из оставшихся элементов.
Пример вычисления определителя методом треугольников для матрицы 1, 2, 3, 4, 2, 1, 1.

Метод разложения по строке или столбцу

8:50

Объяснение метода разложения по строке или столбцу: умножение каждого элемента на его алгебраическое дополнение.
Формула для алгебраического дополнения: минус один в степени, равной сумме номеров строки и столбца, умноженной на минор элемента.
Пример вычисления определителя методом разложения для матрицы 1, 2, 3, 4, 2, 1, 1.

Сравнение методов

12:07

Проверка правильности вычисления определителя двумя методами.
Подчёркивание универсальности метода разложения для матриц любого порядка.
Указание на возможность использования метода разложения для матриц порядка четыре, пять и выше.

Введение в ранг матрицы

13:07

Ранг матрицы — это количество ненулевых строк или столбцов.
Обозначение ранга: ранг матрицы A или rk A.
Ранг можно определить как максимальный порядок ненулевого минора матрицы.

Свойства ранга матрицы

14:03

Если матрица состоит только из нулевых элементов, её ранг равен нулю.
Ранг вектора-столбца или вектора-строки равен единице.
Ранг по строкам равен рангу по столбцам.

Метод окаймляющих миноров

15:03

Проверка миноров первого, второго и третьего порядка.
Миноры первого порядка все ненулевые, поэтому ранг больше или равен единице.
Нахождение ненулевого минора второго порядка увеличивает ранг до двух.

Проверка миноров третьего порядка

19:04

Минор третьего порядка равен определителю матрицы.
Определитель не равен нулю, поэтому ранг равен трём.

Метод Гаусса

20:32

Сведение матрицы к ступенчатому виду с единицами по диагонали.
Использование элементарных преобразований: сложение, вычитание, перестановка строк, умножение на число.
Подсчёт количества ненулевых строк после преобразований.

Результат применения методов

23:52

Оба метода дают одинаковый результат — ранг равен трём.
Важно не запутаться в вычислениях при применении методов.