Вышмат. Тензоры

YOUTUBE · 19.11.2025 06:41

Ключевые темы и таймкоды

Тензоры

0:00

Обсуждение тензоров, которые традиционно не включены в курс линейной алгебры, но могут быть полезны для прикладных математиков и физиков.
Цель сегодняшнего занятия - сформировать базовое понимание тензоров и начать привыкать к этому понятию.

Идея тензоров

5:52

Представление о тензорах начинается с идеи умножения функций на разных множествах, даже если они не пересекаются.
Предлагается умножать функции, используя упорядоченные пары, где первый элемент обрабатывается функцией f, а второй - функцией g.
В результате получается число, которое можно перемножить.

Тензорное произведение функций

8:52

Обсуждается идея тензорного произведения функций, которое действует на прямом произведении, несмотря на то, что области определения функций могут быть разными.
Тензорное умножение функций рассматривается как умножение функций на разных множествах, но с использованием прямого произведения.

Линейные функции и линейные операторы

10:43

Линейные функции на векторном пространстве называются линейными функционалами или корректорами.
Линейные функции рассматриваются как частный случай функций, которые могут быть наиболее простыми.

Умножение линейных функций

12:43

Множество всех линейных операторов из одного векторного пространства в другое обозначается как множество всех линейных операторов.
Умножение линейных функций рассматривается как умножение элементов из одного векторного пространства на элементы другого.

Билинейные функции

14:43

Умножение линейных функций приводит к образованию билинейной функции, которая линейна по каждому аргументу.

Билинейные функции

15:28

Обсуждается, что билинейные функции могут быть описаны как линейные комбинации векторов.
Упоминается, что эти функции могут быть выделены на фоне остальных, но не совсем произвольны.
Обсуждается, что эти функции являются билинейными, что означает, что они линейны по каждому аргументу при фиксированном другом аргументе.

Обозначение умножения

20:04

Упоминается, что мотивация для обозначения умножения функций как "точка" может быть связана с физикой или обобщением разных конструкций.
Обсуждается, что тензоры на многообразиях и тензорные поля также могут быть связаны с этим понятием.

Базис и порядок аргументов

24:04

Упоминается, что когда функции являются элементами одного и того же векторного пространства, порядок аргументов становится важным.
Обсуждается, что в такой ситуации умножение функций становится не коммутативным, и порядок аргументов становится важным.

Тензорное умножение

27:04

Обсуждается, что тензорное умножение не коммутативно, и это подчеркивается с помощью специального значка умножения.
Упоминается, что тензорное умножение можно использовать для умножения конвекторы, но это может быть сложнее, чем обычное умножение.

Векторы и функции

30:55

Векторы можно интерпретировать как функции, и это полностью их определяет.
Обсуждается, как векторы можно перемножать тензорно, как функции на двойственном пространстве.

Билинейные функции

33:55

Билинейные функции можно разложить по тензорным произведениям векторов с коэффициентами.
Доказывается, что любая билинейная функция может быть разложена по базисным билинейным функциям.

Билинейные функции и их свойства

37:55

В видео обсуждается, что билинейные функции могут быть заданы на парах базисных элементов, и их значение может быть вычислено на этих парах.
Билинейные функции могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных элементов, и это представление является единственным.

Базис тензорного произведения

43:46

В видео объясняется, что базисные элементы тензорного произведения образуют базис, и любая линейная функция может быть разложена по этим базисным элементам.
Базис тензорного произведения может быть использован для разложения скалярного произведения, которое является элементом тензорного произведения.

Разложение скалярного произведения

46:46

В видео показано, как скалярное произведение может быть разложено по базису тензорного произведения, и как это разложение может быть использовано для воссоздания скалярного произведения.
Разложение скалярного произведения по базису тензорного произведения позволяет увидеть, как оно действует на векторы и как его можно использовать для вычисления скалярного произведения.

Определение скалярного произведения

49:37

В векторном пространстве есть базис с нижними индексами, а в двойственном к нему элементы двойственного базиса обозначаются той же буквой, но с верхними индексами.
Скалярное произведение - это линейная функция на векторном пространстве, которая возвращает символ Кронекера-Дельта.
В силу двойственности, вектор не пространствует канонически своему дважды сопряженному.

Разложение скалярного произведения по базису

56:37

В координатах скалярное произведение выглядит как же и живы, где же - это матрица координат скалярного произведения.
Это представление позволяет разложить скалярное произведение по базису и получить осмысленный элемент пространства.

Линейный оператор как элемент пространства

59:28

Линейный оператор из ввв - это элемент пространства, который на вход получает один векторный аргумент и возвращает элемент в.
Чтобы полностью задать линейный оператор, достаточно заставить его действовать на базисных векторах.
В координатах линейный оператор имеет вид а, где а - это матрица координат линейного оператора.

Линейные операторы и их интерпретация

1:01:28

В видео обсуждается, что линейные операторы можно интерпретировать как элементы тензорного пространства.
Это означает, что оператор можно описать как функцию, которая принимает вектор в качестве первого аргумента и возвращает число.
Это число затем умножается на второй аргумент, который также является числом.

Пример линейного оператора

1:11:19

В видео приводится пример линейного оператора, который можно интерпретировать как функцию.
Оператор имеет вид: a(e1, e2, e3) = 3e1 + e3, 8e1 + 2e2 + e3, e2 + 5e3.
Этот оператор можно записать как функцию, которая принимает вектор в качестве первого аргумента и возвращает число.

Вынесение множителя за скобку

1:13:19

В видео обсуждается, что множитель в можно вынести за скобку, что приводит к тому же результату.
Это свойство тензорного умножения, которое наследуется от обычных функций.

Линейная алгебра и тензоры

1:15:19

В курсе линейной алгебры тензоры сложны, но на самом деле они являются основой физики.
Закон Гука и другие физические законы можно рассматривать как тензоры.

Векторное произведение

1:21:10

Векторное произведение - это элемент пространства, который действует на пару векторов.
В координатах векторное произведение выглядит как определитель.

Интерпретация векторного произведения

1:26:10

Векторное произведение можно интерпретировать как элемент пространства и его действие на пару векторов.
Это позволяет увидеть, что векторное произведение в буквальном смысле является элементом пространства и действует на векторы.

Линейные операторы и скалярное произведение

1:28:01

Обсуждение линейных операторов и их действия на векторные пространства.
Поднятие и опускание индексов в координатах.
Проверка скалярного произведения на положительность.

Поднятие индекса и изоморфизм

1:34:46

Поднятие индекса как операция на координатах.
Изоморфизм между линейным оператором и его матрицей.
Поднятие индекса как замена множителей на элементы из со звездочкой.

Арифметический смысл поднятия индекса

1:38:37

Замена множителей на элементы из со звездочкой.
Смысл операции поднятия индекса: подмена множителей на элементы из со звездочкой.

Обращение матрицы

1:40:37

Автор обсуждает процесс обращения матрицы, используя элементарные преобразования.
Он объясняет, что для этого нужно обратить матрицу обратного оператора и использовать ее для перехода от одного базиса к другому.

Симметризация и тонирование

1:48:28

Автор обсуждает симметризацию и тонирование тензоров, которые можно применять к тензорам для создания новых тензоров.
Он объясняет, что эти операции можно интерпретировать как умножение функций, и что они могут быть использованы для работы с более общими ситуациями, такими как модули и кольца.

Обобщение и применение

1:51:28

Автор обобщает идеи, обсужденные ранее, на случай, когда есть больше тензорных множителей, и объясняет, как можно раскрыть скобки для таких случаев.
Он также подчеркивает, что если вы работаете с тензорами, используя эти правила, то вы работаете с настоящими тензорами.

Интерпретация тензоров

1:53:28

Тензоры можно интерпретировать как произведения функций или как объекты непонятной природы, которые можно манипулировать.
Объяснение выглядит "на пальцах", но оказывается более общим и важным, чем определение произведения функций.

Операции альтернирования и симметрирования

1:55:19

Тензоры могут быть функциями двух переменных, и можно менять местами аргументы.
Если аргументы имеют разную природу, можно переставлять только первые два аргумента, если природу можно поменять местами, можно переставлять все три аргумента.

Перестановка аргументов тензора

1:57:19

Перестановка аргументов тензора определяется с помощью перестановки из множества 1, 2, 3.
Перестановка аргументов действует на тензор, переставляя аргументы и возвращая их обратно.