Лекция 4: Интерполяция сплайнами (окончание). Задача численного интегрирования

YOUTUBE · 19.11.2025 05:37

Ключевые темы и таймкоды

Введение в метод прогонки

0:13

В видео рассказывается о методе прогонки, который используется для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей и диагональным преобладанием.
Метод основан на использовании прогоночных коэффициентов и позволяет найти решение системы уравнений.

Свойства метода прогонки

9:37

Метод прогонки устойчив и обеспечивает существование и единственность решения системы уравнений.
Погрешности в вычислении прогоночных коэффициентов не приводят к делению на ноль и не превосходят единицы по модулю.

Прямой и обратный ход прогонки

14:27

Прямой ход прогонки вычисляет прогоночные коэффициенты, а обратный ход находит решение системы уравнений.
Устойчивость прямого хода прогонки зависит от погрешности округления при вычислении коэффициентов.

Оценка погрешности прямого хода прогонки

16:19

Погрешность при вычислении прогоночных коэффициентов может быть оценена с помощью разложения в ряд Тейлора.
Если погрешность убывает или растет не слишком быстро, метод прогонки устойчив.

Введение в метод прогонки

20:23

В видео обсуждается метод прогонки, который используется для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод основан на идее прогонки, которая позволяет уменьшить погрешность при вычислении коэффициентов.

Устойчивость метода прогонки

23:04

Метод прогонки устойчив, что означает, что погрешность при вычислении коэффициентов уменьшается.
Это свойство позволяет использовать метод для решения систем с диагональным преобладанием.

Сплайн-интерполяция

24:22

В видео рассматривается сплайн-интерполяция, которая минимизирует осцилляции на разрыве и имеет единственное решение.
Метод прогонки используется для решения системы уравнений для моментов сплайна.

Базис для сплайн-интерполяции

33:28

В видео обсуждаются базисные функции, которые сосредоточены на конечном носителе и представляют собой хороший базис для разложения сплайна.
Эти функции называются бесплайнами и имеют порядок один и дефект один.

Введение в сплайны

36:45

В видео рассказывается о сплайнах - кусочно-линейных и кусочно-кубических интерполяциях.
Сплайны имеют локальный носитель, который может быть конечным или бесконечным.

Построение сплайнов

37:50

Построение сплайна начинается с определения переменной t, которая изменяется от -1 до 1.
Затем строится полином третьей степени, который обращается в ноль в точке -1 и имеет непрерывные производные.
Этот полином используется для построения сплайна на отрезке от -1 до 1.

Бес-сплайны

46:10

Бес-сплайны - это сплайны с конечным носителем, которые имеют форму колокола.
Они могут быть использованы для интерполяции функций на неравномерной сетке.

Разложение по бес-сплайнам

48:16

Разложение функции по бес-сплайнам позволяет интерполировать функцию на равномерной или неравномерной сетке.
Для определения коэффициентов интерполяции используется система линейных уравнений с трех-диагональной матрицей.

Сплайны Шонберга

52:55

Сплайны Шонберга - это сплайны, которые удовлетворяют граничным условиям на производные.
Для получения сплайнов Шонберга нужно добавить условия на производные на концах отрезка интерполяции и ввести два фиктивных сплайнов.

Введение в сплайны

54:47

В этом разделе рассказывается о сплайнах - кусочно-полиномиальных функциях, которые используются для интерполяции и аппроксимации функций.
Сплайны могут быть построены с использованием различных порядков, от первого до девятого.

Оценка константы Либега

58:51

В этом разделе объясняется, как можно оценить константу Либега для сплайн-интерполяции.
Оказывается, что константа Либега для сплайн-интерполяции не зависит от числа узлов и равна шести.

Локальные сплайны

1:01:04

В этой части рассказывается о локальных сплайнах, которые имеют бесконечный носитель, но локально определяются значениями функции в узлах интерполяции.
Локальные сплайны были предложены в 1956-1966 годах и использовались для построения графических пакетов и решения уравнений в частных производных.

Формула численного интегрирования

1:11:54

В этом разделе рассматривается задача численного интегрирования и формула для ее решения.

Введение

1:12:26

Рассматриваются две задачи численного интегрирования: вычисление интеграла от табличной функции и вычисление интеграла от функции, заданной процедурой вычисления.
В первом случае требуется найти приближенное значение интеграла, используя табличную функцию, во втором случае нужно найти приближенное значение интеграла, используя процедуру вычисления функции.

Квадратурные формулы

1:16:11

Квадратурные формулы - формулы численного интегрирования, получаемые путем интерполяции и интегрирования интерполяционного полинома.
В одномерном случае они называются квадратурными формулами, в многомерном - кубатурными формулами.
Самая простая квадратурная формула - формула трапеции, которая получается путем замены функции кусочно-линейной интерполяцией.