1.5 Метод непосредственного интегрирования Примеры

YOUTUBE · 15.11.2025 11:24

Ключевые темы и таймкоды

Введение и первый пример

0:00

Обсуждение метода непосредственного интегрирования.
Пример: вычислить интеграл $\int\left(1 - 3x\right)^2 dx$.
Объяснение, что один и тот же интеграл можно решить разными способами, получая разные ответы, которые отличаются только на константу.

Первый способ решения

0:58

Раскрытие скобки и возведение в квадрат.
Разбиение на три интеграла: $\int 1 dx$, $\int -6x dx$, $\int 9x^2 dx$.
Вычисление интегралов с использованием формул.
Упрощение ответа: $x - 3x^2 + 3x^3 + C$.

Второй способ решения

1:56

Использование свойства инвариантности формулы интегрирования.
Занесение новой переменной под знак дифференциала.
Преобразование интеграла с учётом нового множителя $-1/3$.
Вычисление интеграла: $-1/9 \cdot \left(1 - 3x\right)^3 + C$.

Сравнение результатов

4:53

Возведение скобки в куб и раскрытие скобок.
Сравнение результатов первого и второго способов.
Подтверждение, что константы совпадают: $C_1 = -1/9 + C_2$.

Второй пример

6:50

Вычисление интеграла $\int \frac{1 + 2x^2}{x^2 \cdot \left(1 + x^2\right)} dx$.
Разложение числителя и знаменателя на множители.
Преобразование интеграла в два табличных интеграла.
Вычисление табличных интегралов и получение ответа: $\frac{1}{x} + arctg x + C$.

Третий пример

8:46

Вычисление интеграла $\int \frac{dx}{x^2 \cdot 3 + x^2}$.
Преобразование числителя и знаменателя.
Разложение на два табличных интеграла и их вычисление.
Получение ответа: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \cdot \arctan x / \sqrt{3}$.

Заключение

12:35

Подведение итогов занятия.
Анонс продолжения на следующих занятиях.