Площадь треугольника, образованного точками пересечения «триан».

Диего Фуэро

#411094

05:03 треугольник BPC :)))

Диего Фуэро

#411095

Дано:
AC' = α AB
BA' = β BC
CB' = γ CA
Найти: S(KLM)
Решение:
AL = x AA' = x AB + x BA' = x AB + βx BC = x AB - βx AB + βx AC = x(1-β) AB + βx AC
AL = AC + CL = AC + y CC' = AC - y AC + y AC' = y AC' + (1-y) AC = αy AB + (1-y) AC
AB, AC - базис, пусть и не ортонормированный. Значит:
x(1-β) = αy
βx = (1-y)
Тогда:
x(1-β) = αy = α(1-βx)
x = α/(1-β+αβ)
AL = α(1-β)/(1-β+αβ) AB + αβ/(1-β+αβ) AC
А в силу симметрии:
BM = β(1-γ)/(1-γ+βγ) BC + βγ/(1-γ+βγ) BA
CK = (1-α)γ/(1-α+αγ) CA + αγ/(1-α+αγ) CB
Или в том же базисе:
BM = - β(1-γ)/(1-γ+βγ) AB + β(1-γ)/(1-γ+βγ) AC - βγ/(1-γ+βγ) AB = - β/(1-γ+βγ) AB + β(1-γ)/(1-γ+βγ) AC
CK = - (1-α)γ/(1-α+αγ) AC - αγ/(1-α+αγ) AC + αγ/(1-α+αγ) AB = αγ/(1-α+αγ) AB - γ/(1-α+αγ) AC
Пока обозначим:
p := α(1-β)/(1 - β + αβ)
q := αβ/(1 - β + αβ)
r := - β/(1 - γ + βγ)
s := β(1-γ)/(1 - γ + βγ)
u := αγ/(1 - α + αγ)
v := - γ/(1 - α + αγ)
Тогда:
AL = pAB + qAC
BM = rAB + sAC
CK = uAB + vAC
Площадь равно половине модуля векторного произведения. Посчитаем векторное произведение двух сторон нового треугольника:
KL = - CK - AC + AL = - uAB - vAC - AC + pAB + qAC = (p-u)AB - (1-q+v)AC
KM = - CK - AC + AB + BM = - uAB - vAC - AC + AB + rAB + sAC = (1+r-u)AB - (1-s+v)AC
[KL, KM] = [(p-u)AB - (1-q+v)AC, (1+r-u)AB - (1-s+v)AC] = [(p-u)AB - (1-q+v)AC, (1+r-u)AB] + [(p-u)AB - (1-q+v)AC, - (1-s+v)AC]
= (1-q+v)(1+r-u)[AB, AC] - (p-u)(1-s+v)[AB, AC]
А вот это уже и есть коэффициент с точностью до знака:
(1-q+v)(1+r-u) - (p-u)(1-s+v) = 1 - (p + q - ps + qr) - (-r - rv + su) - (- v + pv - qu) = 1 - α(1-β)/(1 - β + αβ) - β(1-γ)/(1 - γ + βγ) - γ(1-α)/(1 - α + αγ)
Без промежуточных вычислений:
(1 - α - β - γ + αβ + αγ + βγ - 2αβγ)²/(1 - β + αβ)/(1 - γ + βγ)/(1 - α + αγ)
К чему-то более разумному привести не удалось. Разве что:
1 - α - β - γ + αβ + αγ + βγ - 2αβγ = (1 - α)(1 - β)(1 - γ) - αβγ
В нашем случае:
(1 - α)(1 - β)(1 - γ) - αβγ = 8/27 - 1/27 = 7/27
(1 - β + αβ) = 7/9
Итого:
(7/27)²/(7/9)³ = 1/7

сергей с.

#411096

Притворимся, что ни чего не знаем , кроме обобщенной теоремы Фалеса. Хотя для этой задачи есть общая формула для произвольных отношений

Александр Митькин

#411097

Я решал, через обозначения площадей треугольников:
AC'L; C'LB; LBM; MA'B; MCA'; MKC; KCB'; KB'A; ALK; LKM.

Получается: 3*LKM=ALK+BLM+CKM.
LKM=ALC'+BMA'+CKB'

goshikvia

#411098

Отлично решение, спасибо