Бесконечность в геометрии. Вписанные окружности. Harvard-MIT (HMMT) - 1998.

Александр Сорокин

#411092

Несложная задача. Все сводится к нахождению знаменателя прогрессии.
Есть схожая задача чуточку(незначительно) сложнее:
В параболу с фокусом F( y=x^^2/(4^F)) вписана последовательность окружностей центры которых лежат на оси ординат, а сами окружности касаются параболы и соседних окружностей. Первая из окружностей данной последовательности касается параболы в начале координат.
Получить:
1) формулу для Sn-суммы, площадей n кругов ограниченных соответствующими окружностями.

2) найти lim (Sn/S)при n-> бесконечности , где
S - площадь параболического сегмента, ограниченного горизонтальным отрезком ,касающимся сверху n- й окружности. ( Для тех кто не умеет интегрировать ,площадь параболического сегмента высотой H и фокусом F ,S=(4/3)^F^H).