Окружности, вписанные в параболу и касающиеся друг друга.

Алексей Фимкин

#411088

Замечательная задача! А попробуйте решить аналогичную задачу. Дана гипербола с уравнением y = 1/x и последовательность окружностей, построенная следующим образом: первая окружность касается абциссы, ординаты и правой ветви гиперболы, вторая кружность касается абциссы, первой окружности и правой ветви гиперболы, и так далее. Найти формулу для радиуса окружности с номером n.

Александр Болдышев

#411089

Задача замечательная! Субботний вечер состоялся. Особенно приятно что ответ совпал с Вашим. Александру Сорокину огромный респект! В целом шел тем же путем, только в первой части решал несколько иначе. Нарисовав две произвольные вписанные окружности я нашел производную в точке касания одной из них, затем понял что КОТАНГЕНС УГЛА с центром в точке касания между нормалью проведенной в точке касания (она конечно же проходит через центр окружности) и прямой параллельной оси Х, проведенной через точку касания РАВЕН ТАНГЕНСУ УГЛА наклона касательной, Отсюда получил что расстояние от центра окружности до прямой параллельной оси Х проведенной через точку касания НЕ ЗАВИСИТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ОКРУЖНОСТИ и всегда равна 2F. Отсюда сразу стало понятно что радиус самой нижней окружности будет 2F. Ведь точки касания "стягиваются" к величине радиуса но не перестают быть точками касания. А расстояние от центра до них как мы установили это инвариант - 2F. Дальше несложными манипуляциями понял что разница радиусов соседних окружностей тоже инвариант - 4F.
Т.е. Rn = R1+(n-1)*4F. Ну а дальше можно не писать.... Еще раз спасибо за Ваш труд!

Александр Сорокин

#411090

Уважаемый автор, вспомнил еще одну не лишенную( на мой взгляд) изящества и эстетики задачку, лет 40 назад нашел ее, по моему у Демидовича.
Парабола y=x²/(4•F) катится без проскальзывания по оси абсцисс, найти какой функцией описывается кривая по которой движется фокальная точка в процессе качения параболы.
Так как задача не по физике,а по математике, вероятно стоит уточнить,что "без проскальзывания"- означает,что расстояние по оси абсцисс от начала координат до точки касания оси и параболы,равно длине участка параболы от её вершины до точки касания.
Буду рад ,если эта задача( в том случае,если она Вам не попадалась) покажется Вам небезынтересной.Удачи Вам!