Неравенства с модулем. Как правильно раскрывать модуль

Введение в неравенства с модулем

0:00

Неравенства с модулем - сложная тема в школьном курсе математики.
Существует множество приемов решения таких неравенств.
В этом уроке будут рассмотрены четыре основных приема, которые помогут решить 90-95% всех неравенств.

Определение модуля

0:54

Модуль числа - это само число, если оно неотрицательно, или противоположное число, если оно отрицательно.
Модуль всегда неотрицателен, в крайнем случае равен нулю.
Геометрическое определение модуля: расстояние от точки a до точки x на числовой прямой.

Подготовка к решению неравенств

2:50

Важно понимать, что такое неравенство и как его решать.
Рекомендуется посмотреть уроки по методу интервалов и дробно-рациональным неравенствам.
Эти уроки помогут лучше понять материал сегодняшнего урока.

Первый прием решения неравенств с модулем

4:23

Неравенство вида модуль функции меньше другой функции можно представить как двойное неравенство.
Двойное неравенство равносильно системе двух неравенств.
Решение системы включает пересечение множеств.

Пример решения неравенства

6:25

Пример: 2x + 3 < x + 7.
Преобразование в систему двух неравенств: 2x + 3 < x + 7 и 2x + 3 > -x - 7.
Решение системы: x < 4 и x > -10/3.

Пересечение множеств

9:17

Пересечение множеств можно изобразить на числовой прямой.
Важно подписывать оси, чтобы избежать ошибок.
Пересечение множеств позволяет найти общие значения.

Заключение

11:10

Рекомендуется рисовать числовые прямые для наглядности.
В сложных задачах часто требуется пересечение множеств.
В следующем задании будет рассмотрено объединение множеств.

Формула для неравенств с модулем

11:54

Если неравенство сводится к модулю, можно не учитывать знак под модулем.
Переписываем неравенство в виде двойного неравенства: ф меньше или равно ж, но больше или равно минус ж.
Решаем двойное неравенство как систему неравенств и отмечаем результаты на параллельных прямых.

Неравенства с модулем больше

12:44

Если модуль больше, то неравенство раскрывается по алгоритму: либо ф больше ж, либо ф меньше минус ж.
Результаты объединяются, а не пересекаются.
Объяснение на примере множеств: объединение множеств больше, чем пересечение.

Пример решения неравенства

16:12

Решаем неравенство вида модуль больше другой функции.
Преобразуем неравенство: либо 3x + 1 больше 5 - 4x, либо 3x + 1 меньше -5 + 4x.
Объединяем результаты: икс больше 6 и икс больше 4/7.

Объединение множеств

19:24

Нарисуем множества на числовых прямых: икс больше 4/7 и икс больше 6.
Объединяем множества: икс принадлежит интервалу от 4/7 до плюс бесконечности.

Новый тип неравенств с модулями

20:23

Рассмотрим неравенства, которые встречаются реже, но могут вызвать панику у школьников.
Рассмотрим универсальный алгоритм решения таких неравенств.
В будущем будет рассмотрен более универсальный алгоритм для всех типов неравенств с модулями.

Решение неравенств с модулями

20:55

Рассматривается неравенство: модуль икс плюс два больше или равен модулю один минус два икс.
Предлагается использовать алгоритм для функций, которые не отрицательны.
Возведение в квадрат позволяет упростить неравенство.

Преобразование неравенства

21:49

Возведение в квадрат позволяет заменить неравенство на более простое.
Модуль икс плюс два и модуль один минус два икс больше или равны нулю.
Преобразование модуля в квадрат упрощает неравенство.

Симметрия и четные степени

23:29

Модуль икс плюс два можно заменить на икс в квадрате.
Четные степени также можно заменить на икс в степени два.
Это позволяет упростить неравенство и решить его методом интервалов.

Решение неравенства методом интервалов

24:25

Перенос квадратов в одну сторону упрощает неравенство.
Использование формулы сокращенного умножения позволяет решить неравенство.
Решение методом интервалов дает окончательный ответ.

Универсальный алгоритм

28:16

Алгоритм работает не только для модулей, но и для корней и логарифмов.
Метод перебора позволяет свести сложное неравенство к линейному или квадратному.
Важно знать, как решаются неравенства методом интервалов.

Пример решения неравенства

29:26

Рассматривается неравенство с модулями, которое нельзя свести к ранее рассмотренным.
Выписываются подмодульные выражения и приравниваются к нулю.
Числовая прямая разбивается на три интервала для дальнейшего анализа.

Анализ интервалов

31:19

Рассматриваются знаки подмодульных выражений на каждом интервале.
Модуль икс плюс два меняет знак в точке минус два.
Модуль икс минус один меняет знак в точке единица.

Заключение

33:04

Табличка знаков подмодульных выражений помогает в дальнейших размышлениях.
Важно составлять такие таблицы для упрощения решения сложных неравенств с модулями.

Рассмотрение интервалов

33:19

Рассматриваются пять случаев, из которых важны случаи 1, 2 и 3.
В первом случае икс меньше минус двух, модули раскрываются с минусом.
Во втором случае икс от минус двух до одного, модули раскрываются с плюсом.

Решение первого случая

34:01

В первом случае икс меньше минус двух, модули раскрываются с минусом.
Неравенство преобразуется в минус икс минус два меньше минус икс плюс один плюс икс минус три вторых.
Приводится к виду минус икс меньше минус одна вторая, что не выполняется.

Пересечение числовых прямых

36:03

Изображаются числовые прямые для икс меньше минус двух и икс больше минус три вторых.
Пересечение этих областей не дает ни одной точки, что приводит к пустому множеству ответов.

Переходный случай 1

37:00

Рассматривается икс равный минус двум.
Модуль нуля равен нулю, что не меньше минус одна вторая.
Икс равный минус двум не является решением.

Второй случай

37:58

В этом случае икс от минус двух до одного.
Модули раскрываются с плюсом, неравенство преобразуется в икс плюс два меньше минус икс плюс один плюс икс минус три вторых.
Пересечение множеств не дает ни одной точки, что приводит к пустому множеству ответов.

Третий случай

40:29

В этом случае икс строго больше единицы.
Модули раскрываются с плюсом, неравенство преобразуется в икс плюс два меньше икс минус один плюс икс минус три вторых.
Пересечение множеств дает икс больше четырех с половиной, что является решением.

Заключение

43:34

Все рассмотренные случаи решаются, несмотря на сложность модулей.
Рассматривается универсальный алгоритм решения неравенств с модулями.

Алгоритм решения неравенств с модулями

43:48

Рассматриваем неравенство, выписываем все функции и приравниваем их к нулю.
Получаем множество корней, отмечаем их на числовой прямой.
В рамках каждого кусочка числовой прямой модули раскрываются однозначно.

Применение алгоритма

44:44

Убираем модули, решаем полученное неравенство или уравнение.
Пересекаем полученный ответ с ограничениями, чтобы найти удовлетворяющие значения.
Цель - научиться решать неравенства с модулями надежно, а не быстро.

Практика и опыт

45:41

Осваиваем алгоритм, решаем несколько задач для закрепления.
Со временем можно будет ускорять процесс и исключать ненужные варианты.
Важно научиться применять алгоритмы, а не только решать быстро.

Примеры задач

46:40

Рассматриваем более сложные неравенства с модулями.
Используем изученные приемы для решения задач.
Освежаем в памяти изученные методы.

Решение первого неравенства

47:10

Модуль икс-квадрат плюс два, икс минус три больше икса.
Переписываем неравенство: икс-квадрат плюс два, икс минус три больше икса или меньше минус икса.
Решаем каждое неравенство методом интервалов, объединяем полученные множества.

Сравнение корней

49:05

Корни уравнений могут быть некрасивыми и иррациональными.
Для сравнения корней нужно научиться их находить и записывать.
Пример: дискриминант равен 13, корень из которого иррационален.

Числовые прямые

50:20

На числовых прямых отмечаются найденные корни.
Важно правильно расположить числа на числовых прямых.
Пример: минус три плюс корень из двадцати одного на два может быть правее или левее минус одного плюс корень из тринадцати на два.

Сравнение корней

52:28

Для сравнения корней нужно привести их к уединению радикала.
Пример: умножение на два для избавления от дробей.
Важно учитывать знаки при возведении в квадрат.

Метод интервалов

56:19

Решение неравенства методом интервалов.
Важно фиксировать знаки неравенства для правильного объединения множеств.
Пример: объединение множеств на числовых прямых для получения ответа.

Второе неравенство

58:59

Второе неравенство решается проще, так как это неравенство вида моду лев.
Возведение в квадрат обеих частей неравенства.
Пример: разность квадратов для упрощения выражения.

Раскрытие скобок

1:01:51

Перед первой скобкой нет минуса, поэтому переписываем выражение.
Перед второй скобкой стоит минус, поэтому знаки внутри меняются.
Ошибки: минус относится ко всей скобке, а не только к икс-квадрат.

Решение неравенства

1:03:21

Приводим подобные в первой скобке, что приводит к исчезновению квадрата.
Решаем неравенство методом интервалов, приравнивая к нулю и решая квадратное уравнение.
Ответ: икс принадлежит интервалу от трех вторых до плюс бесконечности.

Решение неравенства с модулем

1:05:01

Переносим двойку влево и модуль вправо, получаем классическое неравенство.
Вводим новую переменную модуль икс равно т.
Решаем неравенство методом интервалов, получаем точки минус один и два.
Ответ: икс принадлежит интервалу от минус бесконечности до минус двух и от двух до плюс бесконечности.

Важность правильного описания множеств

1:07:56

При введении новой переменной важно правильно описывать множества.
Нельзя записывать т принадлежит интервалу, нужно писать т меньше минус одного и больше двух.
Это помогает избежать ошибок и правильно описать ответ.

Дробно-рациональные неравенства

1:10:41

Рассматриваем два неравенства, содержащие дробь и модуль.
Умножать на модуль не рекомендуется, так как знак модуля минус единица неизвестен.
Используем метод перебора, разбиваем числовую прямую на группы и рассматриваем каждую группу отдельно.

Решение дробно-рационального неравенства

1:12:08

Рассматриваем пять групп: три полноценных и две дополнительные.
В первой группе икс меньше минус трех, оба модуля раскрываются со знаками минус.
При переходе через минус тройку знаки меняются, но подмодульные выражения остаются отрицательными.

Рассмотрение случаев

1:14:19

Если x меньше -3, выражение принимает вид: -x+3/x+2-1>=1.
Сокращаем числитель и знаменатель, получаем 1>=1.
Если x меньше -3, знаменатель не равен нулю, что позволяет сократить.

Случай x= -3

1:16:14

При x= -3 получаем неопределенность 0/0, что означает отсутствие корней.
Рекомендуется выделять границы изменения знаков подмодульных выражений в отдельные пункты.

Случай x больше -3, но меньше -2

1:17:24

Первый модуль раскрывается с плюсом, второй с минусом.
Сокращаем числитель и знаменатель, получаем -1>=1, что не имеет корней.

Случай x= -2

1:18:22

При x=-2 получаем -1>=1, что не имеет корней.
Рассматриваем последовательно каждый интервал.

Случай x больше -2

1:19:19

Оба модуля раскрываются с плюсом, получаем дробно-рациональное неравенство.
Приводим к общему знаменателю, получаем x+1>=0.

Пересечение числовых прямых

1:21:47

Интересует пересечение областей на числовых прямых.
Икс принадлежит интервалу от -1 до +∞.
Окончательный ответ: икс принадлежит интервалу от -∞ до -3 и от -1 до +∞.

Решение дробно-рационального неравенства

1:23:42

Рассматривается неравенство с модулями, которое можно упростить до классического дробно-рационального.
В знаменателе стоит точный квадрат, что позволяет упростить выражение.
Неравенство переписывается с учетом знака знаменателя.

Упрощение неравенства

1:24:41

Неравенство умножается на положительное число, чтобы избавиться от дроби.
Учитывается, что икс не равен минус трем, чтобы избежать смены знака.
Неравенство переписывается для удобства решения.

Введение новой переменной

1:26:39

Вводится новая переменная т для упрощения неравенства.
Неравенство решается методом интервалов.
Используются теоремы Виета для нахождения корней.

Решение неравенства

1:27:36

Находятся корни уравнения и определяются знаки.
Вводится система неравенств для определения допустимых значений икс.
Учитываются требования ОДЗ и записывается окончательный ответ.

Заключение

1:31:37

Подчеркивается важность учета ОДЗ при решении неравенств.
Призывается скачивать домашние задания и задавать вопросы.
Обещание новых видео по сложным темам и пожелания удачи.

Неравенства с модулем. Как правильно раскрывать модуль

Ключевые темы и таймкоды

Введение в неравенства с модулем

Определение модуля

Подготовка к решению неравенств

Первый прием решения неравенств с модулем

Пример решения неравенства

Пересечение множеств

Заключение

Формула для неравенств с модулем

Неравенства с модулем больше

Пример решения неравенства

Объединение множеств

Новый тип неравенств с модулями

Решение неравенств с модулями

Преобразование неравенства

Симметрия и четные степени

Решение неравенства методом интервалов

Универсальный алгоритм

Пример решения неравенства

Анализ интервалов

Заключение

Рассмотрение интервалов

Решение первого случая

Пересечение числовых прямых

Переходный случай 1

Второй случай

Третий случай

Заключение

Алгоритм решения неравенств с модулями

Применение алгоритма

Практика и опыт

Примеры задач

Решение первого неравенства

Сравнение корней

Числовые прямые

Сравнение корней

Метод интервалов

Второе неравенство

Раскрытие скобок

Решение неравенства

Решение неравенства с модулем

Важность правильного описания множеств

Дробно-рациональные неравенства

Решение дробно-рационального неравенства

Рассмотрение случаев

Случай x= -3

Случай x больше -3, но меньше -2

Случай x= -2

Случай x больше -2

Пересечение числовых прямых

Решение дробно-рационального неравенства

Упрощение неравенства

Введение новой переменной

Решение неравенства

Заключение