6.3. Операции с матрицами

YOUTUBE · 30.11.2025 08:01

Ключевые темы и таймкоды

Введение в матрицы

0:04

Матрицы - это прямоугольные таблицы с N строками и M столбцами.
Вектор - частный случай матрицы с одной строкой или столбцом.
Строки нумеруются сверху вниз, столбцы - слева направо.

Арифметические операции с матрицами

1:04

Сложение и вычитание матриц производится поэлементно.
Матрицы одного размера можно складывать и вычитать.
Умножение матрицы на число умножает все элементы матрицы на это число.

Транспонирование матриц

3:00

Транспонирование отражает матрицу вдоль главной диагонали.
Транспонированная матрица обозначается как A^T.
Свойства транспонирования: транспонированная транспонированная матрица равна исходной, транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц, умножение на число не влияет на транспонирование.

Умножение матрицы на вектор

4:56

Умножение матрицы на вектор-столбец дает вектор-столбец.
Умножение матрицы на вектор-строку дает вектор-строку.
Порядок множителей важен.

Умножение матриц

6:52

Умножение двух матриц дает матрицу, где количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй.
Пример умножения матриц 2x3 и 3x2.
Результат умножения зависит от порядка матриц.

Матричное произведение и преобразования

8:50

Матричное произведение используется для записи преобразований плоскости, например, поворота.
Поворот выполняется вокруг неподвижной точки.
Длина вектора при повороте не изменяется.

Проверка корректности умножения

10:48

Проверка длины вектора после поворота.
Использование тригонометрических тождеств для вычисления длины и угла между векторами.

Скалярное произведение и угол между векторами

11:45

Скалярное произведение равно X^2 * cos(φ) + Y^2 * cos(φ).
Для вычисления угла нужно поделить скалярное произведение на произведение длин векторов.
Длина вектора: √X^2 + Y^2.
После деления получаем косинус φ, что означает угол φ между векторами.

Проверка поворота вектора

12:44

Подставляем вектор 10 после умножения на матрицу.
Получаем вектор cos(φ) * sin(φ).
Проверяем, что вектор получен поворотом против часовой стрелки.

Единичная матрица

12:44

Единичная матрица размера NxN имеет единицы на главной диагонали и нули вне её.
Умножение любой матрицы на единичную возвращает исходную матрицу.

Свойства матричного умножения

13:43

Умножение на нулевую матрицу дает нулевую матрицу.
Ассоциативность: порядок умножения матриц не важен.
Дистрибутивность: A + B * C = AC + BC и AB + C = AB + AC.

Умножение матрицы на число

14:41

Альфа * B = Alpha * A * B.
Транспонирование матриц: AB = BA.

Обратная матрица

15:39

Обратная матрица A^-1 удовлетворяет A * A^-1 = E.
Обратная матрица существует только для квадратных матриц.
Свойства обратной матрицы: A^-1 * A^-1 = I, A^-1 * B^-1 = B^-1 * A^-1.

Возведение матриц в степень

16:37

Возведение в натуральную степень: умножение матрицы на себя.
Возведение в отрицательную степень: умножение обратной матрицы на себя.

Задачи с матрицами

17:35

Задача 1: Вычисление суммы матриц по координатному методу.
Задача 2: Проверка существования произведения матриц и его вычисление.
Задача 3: Вычисление произведения матриц, умножая строки на столбцы.

Итоги

21:30

Матрицы играют важную роль в машинном обучении и анализе данных.
Видео завершает знакомство с линейной алгеброй.