Исследование поведения функций с помощью производных высших порядков.

0:00

Функция определена в точке x0, производные до некоторого порядка равны нулю.
Первая неравная нулю производная имеет порядок n, производная порядка n-1 равна нулю.
Если порядок первой неравной нулю производной четный и положительный, точка x0 является локальным минимумом.
Если порядок первой неравной нулю производной нечетный и положительный, точка x0 является точкой возрастания.
Если порядок первой неравной нулю производной нечетный и отрицательный, точка x0 является точкой убывания.

1:46

Разложение функции по формуле Тейлора в точке x0.
Знак функции в точке x0 определяется знаком n-й производной.
Если n четное, знак функции зависит только от знака n-й производной.
Если n нечетное, знак функции зависит от знака n-й производной и знака аргумента.

9:39

Пример с функцией y = x^3: первая производная равна нулю, вторая производная равна нулю, третья производная положительна. Точка x0 является точкой возрастания.
Пример с функцией y = x^4: первая производная равна нулю, вторая производная равна нулю, третья производная равна нулю, четвертая производная положительна. Точка x0 является точкой локального минимума.

13:12

Пример с функцией y = x^2 - 2x - x - 1 ln x: первая производная равна нулю, вторая производная равна нулю, третья производная положительна. Точка x0 является точкой возрастания.
График функции показывает, что точка x0 является точкой возрастания.

Ключевые темы и таймкоды