Это полностью изменило то, как я вижу Наглядное объяснение чисел | Модульной арифметики

YOUTUBE · 24.11.2025 06:53

Ключевые темы и таймкоды

Введение и примеры из теории чисел

0:00

Видео спонсируется компанией Brilliant.
Примеры задач из книги по теории чисел: возведение числа в пятую степень и деление на 24.
Автор заинтересовался математикой криптографии и хочет показать основы в наглядной форме.

Определение простоты числа

0:45

Пример определения простоты числа 119: проверка делителей.
Для определения простоты числа достаточно проверить два делителя.
Простые числа состоят только из единицы и самого числа, остальные числа — составные.

Составные числа и факториалы

2:06

Факториал 18 не делится на 23, так как состоит из простых чисел меньше 18.
Составные числа состоят из простых чисел, меньших их самого.

Теорема о простых множителях

2:41

Для составного числа один из его простых множителей должен быть меньше квадратного корня из него самого.
Пример с числом 129: один из множителей должен быть меньше 11,35.

Применение теоремы к числу 119

3:28

Квадратный корень из 119 равен примерно 10,9.
Единственные простые числа меньше 10,9: 2, 3, 5, 7.
Проверка показывает, что 119 — составное число.

Математика колёс

3:58

Объяснение математики колёс на примере колеса с семью спицами.
Числа на колесе делятся на семь и имеют остатки при делении.
Операции сложения и умножения на колесе сохраняют остатки.

Возведение в степень и остатки

6:27

Возведение числа в степень сохраняет остаток при делении на семь.
Пример: 16 в квадрате даёт остаток 1 при делении на семь.

Теорема Ферма

9:09

Теорема Ферма: любое число, не делящееся на простое число, возведённое в степень простого числа минус единица, имеет остаток 1 при делении на это простое число.
Пример: остаток от деления 2^100 на 101 равен 1.

Свойства чисел на колесе

9:48

Любое число, возведённое в простую степень, например, в пять, остаётся на своём месте на колесе.
Числа в каждом разделе колеса имеют одинаковые цифры, так как они отстоят друг от друга на десять пунктов.
При возведении числа в степень оно либо сохраняет свою цифру, либо изменяет её на пять.

Колесо из двенадцати чисел

10:38

На колесе из двенадцати чисел все простые числа располагаются только на четырёх спицах, исключения — числа 2 и 3.
Сектора с составными числами начинаются с числа, кратного двум или трём.
Сектора с простыми числами начинаются с простого числа или с единицы.

Квадраты простых чисел

11:37

Любое простое число, возведённое в квадрат, кроме двух и трёх, попадает в определённый раздел.
Простое число в квадрате минус единица делится на 24.
Это объясняется тем, что p² - 1 = p - 1 * p + 1, где p — простое число.

Делимость на девять

13:01

Если сумма цифр числа делится на девять, то и само число делится на девять.
Пример: число 972 делится на девять, так как 9 + 7 + 2 = 18, что делится на девять.

Цифровой корень

14:02

Цифровой корень числа показывает, насколько оно близко к делению на девять.
Цифровой корень не меняется при добавлении или удалении девяток из числа.
Умножение цифровых корней даёт конечный цифровой корень.

Последовательность Фибоначчи

15:41

Цифровые корни последовательности Фибоначчи повторяются каждые 24 числа.

Криптография и протокол Диффи-Хелмана

16:33

Протокол Диффи-Хелмана позволяет установить секретный ключ для шифрования сообщений.
Подслушивающему сложно вычислить секретные числа из полученных значений.
Алгоритм работает благодаря лёгкости вычислений в прямом направлении и сложности в обратном.

Рекомендации по обучению

19:01

Рекомендация курса теории чисел от Brilliant для более глубокого понимания математики.
Курсы включают интерактивные упражнения и практические задания.
Ежедневные задания помогают сделать обучение привычкой.

Призыв к поддержке канала

20:07

Приглашение поддержать канал через ссылку или сайт brilliant.org/majorprep.
Предложение скидки 20% на годовую премиум-подписку.