Математический анализ 8. Непрерывность функции

YOUTUBE · 19.11.2025 09:25

Ключевые темы и таймкоды

Классификация точек разрыва

0:07

Определены точки разрыва функции и их классификация: точки разрыва первого и второго рода, устранимые и бесконечные разрывы.
Примеры: функция синус единицы на икс, функция Дирихле, функция Римана.

Результаты и следствия

20:52

Непрерывность функции означает, что предел функции равен значению функции в этой точке.
Эквивалентность определений непрерывности и непрерывности односторонних пределов.
Свойства непрерывных функций: ограниченность, отделимость от нуля, арифметические операции, композиция функций.

Доказательство непрерывности сложной функции

29:02

Доказывается, что если функция f непрерывна в точке x0 и функция g непрерывна в точке f(x0), то сложная функция f(g(x)) также непрерывна в точке x0.
Доказательство основано на определении предела функции и теореме о непрерывности монотонной функции.

Точки разрыва монотонной функции

39:14

Если функция f монотонна на множестве A и B, то она может иметь не более чем счетное множество точек разрыва, если они существуют.
Если функция имеет точки разрыва первого рода, то они неустранимы.

Определение непрерывности на множестве

48:08

Функция f называется непрерывной на множестве X, если для любого x0, принадлежащего X, и любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при всех x, принадлежащих X, таких, что |x - x0| < δ, |f(x) - f(x0)| < ε.
Если x состоит из одной точки, то функция, определенная в этой точке, непрерывна на этом множестве.

Определение непрерывности

50:00

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна на каждом из его концов.
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна на любом промежутке, содержащем этот отрезок.

Теоремы о непрерывных функциях

53:00

Первая теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена.
Вторая теорема утверждает, что если функция непрерывна на отрезке, то существуют точки, в которых она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Третья теорема утверждает, что функция, непрерывная на отрезке, принимает все промежуточные значения между любыми двумя значениями функции.

Доказательства теорем

59:00

Доказательства теорем проводятся с использованием метода от противного.
В каждом доказательстве строится последовательность, сходящаяся к пределу, и показывается, что этот предел равен значению функции в точке, где она достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Доказательство теоремы

1:14:56

Делят пополам отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков.
Если процесс деления продолжается неограниченно, то последовательность стягивающихся отрезков имеет общую точку.

Вывод

1:17:07

Предел аных равен пределу б, так как они оба находятся на отрезке аб.
В силу непрерывности функции эф от гамма, получаем, что эф от гамма в квадрате меньше либо равно нулю.
Функция эф от гамма равна нулю, что завершает доказательство.