Введение в дзета-функцию Римана 0:10 Дзета-функция Римана - сложный объект современной математики. Объявлена награда в миллион долларов за нахождение всех нулей функции. Функция связана с расходящимся рядом и аналитическим продолжением.
Объяснение аналитического продолжения 1:08 Видео объясняет дзета-функцию и аналитическое продолжение. Предполагается знание комплексных чисел и дифференциального исчисления. Функция определяется как сумма обратных квадратов натуральных чисел.
Примеры и ограничения функции 2:19 Сумма обратных квадратов стремится к пи в квадрате, деленному на шесть. Функция имеет тривиальные нули в отрицательных четных числах. Функция определена только для аргументов больше единицы.
Комплексный анализ и дзета-функция 3:48 Риман изучал функции с комплексными аргументами. Комплексная степень позволяет расширить функцию на комплексные числа. Возведение в мнимую степень приводит к числу на единичной окружности.
Визуализация функции 6:22 Дзета-функция в точке два плюс ай сходится к пи в квадрате, деленному на шесть. Сумма отрезков сходится по спирали к точке на комплексной плоскости. Функция определена для аргументов больше единицы.
Визуализация комплексных функций 7:46 Функция переводит точку на правой полуплоскости в другую точку. Пример: функция фтс равно с в квадрате переводит точки в их квадраты. Визуализация помогает понять, как работает комплексная функция.
Введение в дзета-функцию 9:27 Дзета-функция определяется как бесконечная сумма комплексных чисел. Визуализация функции на комплексной плоскости показывает сходящуюся спираль. Для визуализации используется плотная координатная сетка в окрестностях единицы.
Расширение функции на левую полуплоскость 10:23 Линии комплексных чисел с мнимой частью плюс или минус ай превращаются в дуги. Расширение функции на левую полуплоскость позволяет получить красивые результаты. Для аргументов с действительной частью меньше единицы бесконечная сумма не работает.
Определение функции за пределами области сходимости 11:35 Вопрос о том, как определить функцию на остальной плоскости. Возможность множества способов расширения функции. Требование, чтобы новая функция имела производную, ограничивает возможные варианты.
Аналитические функции 12:32 Аналитические функции сохраняют углы между линиями. Пример с функцией fтс равно с в квадрате. Аналитические функции называются сохраняющими углы.
Аналитическое продолжение 15:05 Расширение функции за пределы области определения должно быть аналитическим. Единственный способ расширения функции называется аналитическим продолжением. Дзета-функция в левой полуплоскости определяется через аналитическое продолжение.
Гипотеза Римана 17:31 Точки, в которых функция обращается в ноль, важны. Нетривиальные нули функции расположены в критической полосе. Гипотеза Римана предполагает, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой.
Заключение 20:23 Уникальность аналитического продолжения указывает на сильную связь исходных и продолженных значений. Демонстрация производной дзета-функции. Благодарность спонсорам видео.
