Введение в лекцию 0:05 Начало первой лекции по математическому анализу. Обзор тем предыдущей лекции: логическая символика. Переход к теме множества вещественных чисел.
План лекции 0:41 Обсуждение тем, отмеченных фиолетовым цветом, которые будут пропущены. Упоминание о мини-экзамене через четыре недели. Важность своевременного изучения материала.
Определение множества вещественных чисел 2:28 Введение понятия множества вещественных чисел через аксиомы. Обозначение множества буквой R. Элементы множества называются вещественными числами.
Аксиомы сложения 4:47 Аксиомы коммутативности и ассоциативности сложения. Определение нейтрального элемента 0 и обратного элемента -1.
Операция сложения 9:04 Сложение как отображение, которое для каждой пары вещественных чисел даёт вещественное число. Формальное определение множества вещественных чисел через аксиомы.
Аксиомы умножения 12:03 Определение операции умножения. Аксиомы коммутативности и ассоциативности умножения. Существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента -1/x.
Особенности единицы 15:27 Уточнение, что единица не может быть нейтральным элементом относительно сложения. Объяснение, почему множество, состоящее только из нуля, не удовлетворяет аксиомам.
Обратный элемент относительно умножения 16:03 Определение обратного элемента -1/x относительно умножения. Указание, что для нуля нет обратного элемента.
Коммутативные группы 17:24 Перечислены аксиомы для операции умножения. Множество, удовлетворяющее этим аксиомам, называется коммутативной группой по умножению. Упоминаются аддитивные и мультипликативные коммутативные группы.
Связь сложения и умножения 18:19 Введена операция деления. Объявлена аксиома дистрибутивности умножения относительно сложения. Подчёркивается коммутативность умножения.
Поле вещественных чисел 19:59 Множество, удовлетворяющее всем аксиомам сложения, умножения и их связи, называется полем вещественных чисел. В поле можно складывать и умножать элементы, результаты не выпадают из множества.
Аксиомы порядка 20:29 Введено отношение «меньше либо равно» на множестве вещественных чисел. Описаны свойства этого отношения: рефлексивность, антисимметричность и транзитивность. Подчёркивается, что отношение «меньше либо равно» является полным порядком.
Связь порядка с операциями 29:03 Пятая аксиома: связь сложения и порядка. Шестая аксиома: связь порядка и умножения. Доказано, что произведение неотрицательных чисел также неотрицательно.
Иррациональные числа 31:16 Множество рациональных чисел удовлетворяет всем аксиомам, но вещественные числа шире. Доказана иррациональность корня из двух. Иррациональные числа обозначаются как I.
Доказательство иррациональности корня из двух 34:22 Доказательство ведётся от противного: если корень из двух рационален, то он представим в виде несократимой дроби. Показано, что любая несократимая дробь, представляющая корень из двух, будет сократимой, что противоречит условию несократимости. Следовательно, корень из двух иррационален.
Введение в иррациональные числа 38:35 Обсуждение существования иррациональных чисел. Утверждение, что корень из двух не является рациональным числом. Необходимость включения иррациональных чисел в множество вещественных чисел.
Аксиома непрерывности 39:35 Введение аксиомы непрерывности для дополнения множества вещественных чисел. Аксиома полноты закрывает «дыры» между рациональными числами. Формулировка аксиомы: для любых двух вещественных чисел x и y, таких что x ≤ y, существует число c, расположенное между ними.
Применение аксиомы непрерывности 41:23 Объяснение, что между любыми двумя вещественными числами всегда можно найти ещё одно число. Пример с единицами показывает, что между ними всегда будет ещё одно число. Подчёркивание, что аксиомы не предполагают существования других чисел, кроме дробей.
Доказательство существования корня из двух 44:22 Применение аксиомы непрерывности для доказательства существования корня из двух. Определение множеств X и Y: X — положительные числа, квадрат которых меньше двух, Y — положительные числа, квадрат которых больше двух. Проверка непустоты множеств X и Y.
Доказательство, что c — корень из двух 49:18 Доказательство от противного: если c ∈ X, то существует число больше c, квадрат которого меньше двух, что противоречит определению X. Построение искусственного числа c + 2 - c² / 3c и проверка его квадрата. Вывод: квадрат сконструированного числа меньше двух, что противоречит предположению, что c ∈ X.
Заключение 57:21 Подтверждение, что сконструированное число не принадлежит X. Завершение доказательства существования корня из двух в множестве вещественных чисел.
Аксиома непрерывности и её применение 57:36 Аксиома непрерывности позволяет доказать, что существует число, которое больше любого другого числа из множества. Доказывается противоречие между предположением о том, что определённое число больше некоторого другого числа, и аксиомой непрерывности. Это приводит к выводу о невозможности предположения о том, что определённое число больше другого.
Определение множества вещественных чисел 1:00:06 Множество вещественных чисел включает не только дроби, но и другие числа, такие как корни. Аксиома непрерывности позволяет включить в множество иррациональные числа. Вещественные числа обладают свойствами сложения, умножения, сравнения и наличия противоположных элементов.
Свойства множества вещественных чисел 1:02:38 Множество вещественных чисел полное и густое: между любыми двумя числами есть ещё одно. Из аксиом следуют следствия, например, противоположный элемент к x равен x * -1.
Введение в натуральные числа 1:04:33 Натуральные числа интуитивно воспринимаются как числа от 1 до бесконечности. Для строгого определения натуральных чисел вводится понятие индуктивного множества.
Понятие индуктивного множества 1:05:49 Индуктивное множество — это множество, в котором каждый элемент, увеличенный на единицу, также принадлежит множеству. Пересечение индуктивных множеств также является индуктивным множеством.
Определение множества натуральных чисел 1:10:33 Множество натуральных чисел определяется как пересечение всех индуктивных множеств, содержащих единицу. Это наименьшее индуктивное множество, содержащее единицу.
Принцип математической индукции 1:14:04 Принцип математической индукции позволяет доказывать утверждения для меняющихся номеров. Теорема утверждает, что подмножество натуральных чисел, содержащее единицу и являющееся индуктивным, совпадает с множеством натуральных чисел.
Пример применения индукции 1:17:12 С помощью индукции доказывается, что сумма двух натуральных чисел также является натуральным числом. Рассматривается натуральное число m и показывается, что добавление к m натурального числа k даёт также натуральное число.
Доказательство натуральности суммы 1:18:12 Доказывается, что к любому натуральному числу можно добавить любое другое натуральное число, и результат будет натуральным. Рассматривается множество натуральных чисел, для которых сумма с фиксированным числом m будет натуральной.
Индуктивность множества натуральных чисел 1:19:15 Объясняется, что множество натуральных чисел индуктивно: если m натуральное, то m + 1 также натуральное. Утверждается, что добавление единицы к натуральному числу всегда даёт натуральное число.
Принцип математической индукции 1:22:19 Описывается принцип математической индукции: доказательство начинается с первого элемента, затем делается индукционное предположение для следующего элемента, и доказывается, что свойство выполняется и для следующего элемента.
Доказательство неравенства Бернулли 1:22:50 Рассматривается неравенство: 1 + x^n ≥ 1 + nx для x ≥ -1 и n ∈ N. База индукции: n = 1, неравенство верно. Индукционное предположение: для n = k неравенство верно. Шаг индукции: доказательство для n = k + 1, используя индукционное предположение.
Важность проверки базы индукции 1:27:32 Подчёркивается важность проверки базы индукции, чтобы избежать ошибок. Приводится пример, показывающий, что без проверки базы индукции можно получить противоречие.
Дополнительные задания 1:28:03 Предлагается изучить целые, рациональные и иррациональные числа. Упоминается расширение множества вещественных чисел и модуль. Обещается проверка знаний в будущем.
