Введение в индексацию множеств 0:05 Обсуждение индексации множеств не только натуральными числами, но и множествами произвольной природы. Введение понятия семейства множеств, индексированного множеством.
Определение семейства множеств 0:54 Объяснение, что семейство множеств индексировано множеством. Упоминание о функции, которая однозначно сопоставляет элементы множества индексам.
Объединение и пересечение множеств 3:23 Определение объединения элементов семейства множеств. Объяснение, что элемент принадлежит объединению, если он принадлежит хотя бы одному из множеств семейства. Определение пересечения множеств.
Пример с окружностью 5:11 Пример с окружностью на плоскости и её объединением с другими окружностями. Геометрическое представление объединённого множества.
Теорема двойственности 6:19 Формулировка теоремы о двойственности для семейства множеств. Равенства для объединения и пересечения разностей множеств. Доказательство первого равенства с использованием логики.
Отношения и эквивалентность 12:44 Определение бинарного отношения на множестве. Свойства отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Пример отношения эквивалентности на множестве жителей Долгопрудного.
Классы эквивалентности 19:10 Определение класса эквивалентности с представителем. Подчёркивание, что класс эквивалентности — это непустое подмножество исходного множества. Обсуждение структуры классов эквивалентности.
Доказательство теоремы о классах эквивалентности 20:29 Утверждение: классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Пример пересечения классов: если два класса с представителями x и y пересекаются, то элемент из пересечения эквивалентен обоим представителям. Применение симметричности и транзитивности для доказательства совпадения классов.
Разбиение множества на классы эквивалентности 24:22 Множество разбивается на непустые классы эквивалентности. Каждое подмножество является классом эквивалентности. Объединение всех классов эквивалентности равно исходному множеству.
Понятие фактора множества 26:07 Фактор множества — это множество классов эквивалентности по заданному отношению эквивалентности. Пример с целыми числами: отношение эквивалентности определяется через произведение целых чисел.
Проверка отношения эквивалентности на примере целых чисел 29:07 Проверка рефлексивности, симметричности и транзитивности отношения эквивалентности. Доказательство эквивалентности через произведение целых чисел.
Определение рационального числа 32:06 Рациональные числа определяются через отношение эквивалентности. Рациональные числа равны, если выполнено свойство пропорции.
Понятие отношения порядка 34:15 Отношение порядка определяется через рефлексивность, транзитивность и антисимметричность. Антисимметричность означает, что если x ≤ y и y ≤ x, то x = y. Линейное отношение порядка позволяет сравнивать любые элементы.
Пример отношения порядка на множестве подмножеств 37:50 Отношение порядка на множестве подмножеств универсального множества. Пример показывает, что отношение порядка не является линейным.
Стандартный порядок на целых числах 42:06 Стандартный порядок на целых числах определяется через разность чисел. Доказательство удовлетворения аксиомам отношения порядка для стандартного порядка.
Определение группы 44:51 Группа — это множество с заданной операцией, удовлетворяющей аксиомам ассоциативности и существования нейтрального элемента. Пример ассоциативности операции на множестве. Нейтральный элемент относительно операции.
Определение группы 47:24 У каждого элемента группы есть обратный элемент. Существование обратного элемента — условие для группы. Группа называется абелевой, если выполнено свойство коммутативности.
Пример с композицией функций 49:21 Рассматривается множество функций с операцией композиции. Проверяется корректность операции композиции. Доказывается ассоциативность и наличие нейтрального элемента. Отмечается, что композиция функций не всегда коммутативна.
Определение поля 53:17 Поле определяется как множество с двумя операциями: сложением и умножением. Сложение должно быть абелевой группой с нейтральным элементом нулём. Умножение также должно быть абелевой группой. Операции сложения и умножения согласованы.
Пример с рациональными числами 58:26 Рассматривается множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения. Доказывается корректность операций на представителях. Объясняется, почему наличие нуля делает поле неабелевым.
Доказательство отсутствия обратного элемента для нуля 1:00:17 Доказывается, что произведение любого элемента на ноль даёт ноль. Используется дистрибутивность для доказательства отсутствия обратного элемента для нуля.
Введение в математический анализ 1:04:15 Объясняется, что математический анализ начинается с понятия предела. Подчёркивается важность строгого фундамента, основанного на теории множеств и алгебре. Обещается более подробное объяснение при переходе к анализу.
Введение в поле вычетов по модулю два 1:06:57 Обсуждение свойств поля, проверенных в школе. Определение операций сложения и умножения в поле вычетов по модулю два. Проверка выполнения аксиом поля.
Упорядоченное поле 1:09:25 Введение понятия упорядоченного поля. Определение линейного порядка, согласованного с операциями сложения и умножения. Пример доказательства, что в упорядоченном поле единица больше нуля.
Свойства упорядоченного поля 1:17:25 Доказательство, что в упорядоченном поле сложение единиц всегда даёт различные элементы. Объяснение, почему в некоторых полях невозможно ввести порядок, согласованный со сложением.
Поле действительных чисел 1:19:26 Необходимость исключения «дырок» в поле для построения матанализа. Определение множества, лежащего левее другого, и разделяющего элемента. Аксиома полноты: для любых двух непустых подмножеств существует разделяющий элемент.
Итог лекции 1:25:44 Подведение итогов определения поля действительных чисел. Упоминание о необходимости доказательства существования такого поля. План следующей лекции: построение модели поля действительных чисел и доказательство его свойств.
