Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]

YOUTUBE · 30.11.2025 09:52

Ключевые темы и таймкоды

Введение в логистическое отображение

0:00

Логистическое отображение моделирует изменение популяции кроликов.
Уравнение: xn+1 = xn * r / 1 - xn, где xn — численность популяции в текущем году, r — коэффициент роста, 0 < xn < 1.
Коэффициент r ограничивает рост популяции, предотвращая экспоненциальный рост.

Пример расчёта популяции

0:59

Пример с коэффициентом роста 2,6 и начальной популяцией 40% от максимума.
Результат: численность популяции стабилизируется на уровне 0,615.

Влияние коэффициента роста

2:59

При r < 1 популяция вымирает.
При 1 < r < 3 популяция растёт до равновесного значения.
При r > 3 возникают колебания между двумя значениями.

Бифуркации и хаос

4:56

Бифуркации удвоения периода при увеличении r.
При r = 3,50 наступает хаос, численность популяции скачет непредсказуемо.
Уравнение легло в основу генератора случайных чисел.

Фракталы и множество Мандельброта

5:55

Бифуркационная диаграмма напоминает фрактал.
Множество Мандельброта — пример фрактала, описываемого рекуррентным уравнением.

Анализ множества Мандельброта

6:55

Выбор значения c и проверка, является ли оно частью множества Мандельброта.
Визуализация показывает границы между конечными и бесконечными решениями.

Структура множества Мандельброта

8:52

Основной лепесток имеет одно стабильное решение.
Лепестки с периодами 4, 8, 16 и т. д.
Антенна множества Мандельброта соответствует хаосу.
Деформационная диаграмма располагается на оси действительных чисел.

Кардиоида и её применение

9:51

Кардиоида имеет собственный цикл с периодичностью 3, 4 или 5.
Уравнение применяется для расчёта численности популяций в контролируемых лабораторных условиях.
Первое экспериментальное подтверждение пришло из гидродинамики.

Эксперимент с ртутью

10:49

Учёный Или Хабер использовал разницу температур для запуска конвекции в контейнере с ртутью.
В контейнере образовались два вращающихся цилиндра жидкости.
Датчик показал периодические колебания температуры, которые затем изменились, удвоив период.

Реакция глаз и фибрилляция сердца

11:48

Глаза человека и саламандры реагируют на мерцающий свет с удвоением периода.
Перед фибрилляцией сердца сердечный ритм проходит через стадии удвоения периода.
Исследователи использовали теорию хаоса для расчёта времени применения дефибриллятора.

Протекающий кран

12:46

Протекающий кран демонстрирует удвоение периода капель при усилении подтекания.
При определённых условиях кран становится хаотической системой.

Постоянная Фейгенбаума

13:46

Физик Мечел Фейгенбаум обнаружил постоянную 4,669, которая связывает интервалы между бифуркациями.
Эта постоянная универсальна для любых функций с одним максимумом.

Универсальность уравнений

15:43

Любая функция с одним максимумом при многократном решении приводит к постоянной 4,669.
Биолог Роберт опубликовал статью о уравнении, которое порождает сложные системы.

Заключение

16:42

Автор выражает восторг от идеи хаоса и уравнения.
Подчёркивается важность изучения хаоса в образовательных программах.