3. Числовой ряд. Признак сравнения рядов. Предельный признак сравнения рядов.

YOUTUBE · 16.11.2025 05:37

Ключевые темы и таймкоды

Введение в ряды с неотрицательными членами

0:00

Рассматриваются числовые ряды, все члены которых неотрицательны.
Такие ряды называются рядами с неотрицательными членами или знакоположительными рядами.
Умножение ряда на -1 не влияет на его сходимость.

Признак сравнения

1:15

Если общий член ряда a n больше или равен b n для всех n, то сходимость ряда a n влечёт за собой сходимость ряда b n .
Расходимость ряда b n влечёт за собой расходимость ряда a n .
Признак сравнения применим, если неравенство выполняется начиная с некоторого номера.

Эталонные ряды

2:52

Геометрическая прогрессия: ряд a + aq + aq² + ... сходится, если q < 1, и расходится, если q ≥ 1.
Гармонический ряд: ряд 1/n расходится.
Обобщённый гармонический ряд: ряд 1/n^p расходится, если p > 1, и сходится, если 0 ≤ p ≤ 1.

Пример применения признака сравнения

5:15

Исследуется ряд 1/ln n , где n ≥ 2.
Сравнивается с гармоническим рядом 1/n.
Так как ln n > n , ряд 1/ln n расходится по признаку сравнения.

Пример с геометрической прогрессией

8:44

Исследуется ряд 1/n²n.
Сравнивается с рядом геометрической прогрессии 1/2²n.
Так как q = 1/2 < 1, ряд геометрической прогрессии сходится.
По признаку сравнения исходный ряд также сходится.

Предельный признак сравнения

11:44

Если предел отношения общих членов рядов a n /b n конечен и отличен от нуля, то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Предельный признак применим для произвольных рядов с неотрицательными членами.
Нулевые члены ряда можно отбросить без влияния на сходимость.

Пример с предельным признаком

13:52

Исследуется ряд тангенс π/8n.
Сравнивается с гармоническим рядом.
Предел отношения общих членов равен π/8, что не равно нулю.
По предельному признаку исходный ряд расходится.

Исследование сходимости ряда

16:21

Расписываем ряд: первый член — минус одна третья, второй — ноль при n = 2, третий — одна тринадцатая и т. д.
Общий член ряда: n - 2 / n² + n + 1.
Отбрасываем первые два члена, так как они отрицательные и ноль.

Применение предельного признака сравнения

17:21

Подбираем эталонный ряд для сравнения.
Числитель и знаменатель общего члена ряда неограниченно растут при n, стремящемся к бесконечности.
Заменяем их эквивалентными последовательностями: n - 2 эквивалентно n, n² + n + 1 эквивалентно n².

Подбор эталонного ряда

19:21

Общий член эталонного ряда: 1 / n.
Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом.

Вычисление предела

20:21

Вычисляем предел отношения общих членов рядов: lim n → ∞ n - 2 / n² + n + 1 / 1 / n = 1.
Предел конечный и отличный от нуля, следовательно, исходный ряд расходится.

Второй пример

21:58

Исследуем ряд с общим членом: n² + √n⁶ + 1 / n³ * √n + 1.
Заменяем числитель и знаменатель эквивалентными последовательностями: n³ и n³⁻¹/2.
Эталонный ряд: ∑nⁿ = 1 / n⁻¹/2, который расходится.

Вычисление предела во втором примере

24:58

Вычисляем предел отношения общих членов: lim n → ∞ n² + √n⁶ + 1 / n³ * √n + 1 / 1 / n⁻¹/2 = 1.
Предел конечный и отличный от нуля, следовательно, исходный ряд расходится.

Третий пример

25:58

Исследуем ряд: ∑nⁿ = ln 1 + 2 / n².
Заменяем бесконечно малую величину эквивалентной: 2 / n².
Эталонный ряд: ∑nⁿ = 1 / n², который сходится.

Вычисление предела в третьем примере

27:58

Вычисляем предел отношения общих членов: lim n → ∞ ln 1 + 2 / n² /