Начало лекции 0:02 Преподаватель приветствует аудиторию. Обсуждает технические проблемы с звонками. Проверяет готовность к началу лекции.
Введение в тему 2:51 Объявляет тему лекции: схема испытаний Бернулли. Упоминает о предыдущих занятиях и обещании рассказать о приложениях. Переходит к обсуждению случайного блуждания.
Случайное блуждание на прямой 3:52 Объясняет концепцию случайного блуждания на вещественной прямой. Использует метафору пьяницы, выходящего из кабака, для иллюстрации процесса. Подчёркивает, что вероятность движения в определённом направлении зависит от наклона дороги.
Применение схемы испытаний Бернулли 6:08 Формулирует задачу: найти вероятность того, что пьяница окажется в конкретной точке после определённого количества шагов. Применяет схему испытаний Бернулли для решения задачи. Обсуждает случай, когда дорога наклонная, и вероятность движения в определённом направлении меняется.
Расчёт вероятности 9:27 Объясняет, как рассчитать вероятность попадания пьяницы в точку с номером k после n шагов. Использует биномиальную вероятность для вычисления вероятности. Подчёркивает, что при n нечетном вероятность равна нулю.
Заключение и переход к следующей теме 12:19 Утверждает, что вероятность удаления пьяницы на большое расстояние от кабака мала. Обещает обсудить вероятностные неравенства в будущем. Переходит к обсуждению модели случайного графа.
Введение в графы 13:30 Преподаватель просит участников поставить плюс, если они знают, что такое граф, и минус, если не знают. Подчёркивается, что граф — это конструкция с вершинами и рёбрами.
Определение графа 14:55 Граф определяется как пара: множество вершин и набор рёбер. Ребра — это двухэлементные подмножества множества вершин.
Примеры графов 16:35 Пример с аудиторией: вершины — люди, рёбра — пары знакомых. Обсуждение ориентированных и неориентированных графов.
Количество графов на множестве вершин 18:27 Вопрос о количестве графов на множестве первых n натуральных чисел. Ответ: 2^n * n! / 2^n-1.
Случайные графы 20:29 Введение понятия случайного графа. Вероятность проведения каждого ребра с вероятностью p. Пример с n = 4: вероятность появления графа с вершинами 1, 2, 3, 4 равна p^4 * q^2.
Практическое применение 26:20 Пример с серверами в городах и каналами связи. Полный граф связей между серверами. Вероятности возникновения различных графов в зависимости от перестановки рёбер.
Модель Эрдаша-Рени 27:15 Процедура удаления и возникновения рёбер в графе соответствует помехам на каналах связи. Помеха возникает с вероятностью q, что приводит к исчезновению ребра. Модель предложена физиками, но названа в честь Эрдаша и Рени, которые опубликовали работы в 1959 году.
Приложения случайных графов 28:11 Случайные графы имеют множество приложений в физике и биологии. Обозначение случайного графа в модели Эрдаша-Рени. Модель также известна как классическая или биномиальная.
Вероятность цикла в графе 29:06 Расчёт вероятности того, что случайный граф является циклом. Цикл в графе — это многоугольник на вершинах. Важность структуры графа и его интерпретации.
Заморфные графы 29:49 Два графа могут иметь одинаковую структуру, но разные интерпретации. Пример с людьми в аудитории иллюстрирует разницу в интерпретации графов. Заморфные графы одной формы могут иметь разные отношения между объектами.
Вероятность цикла на n вершинах 30:47 Формула для вероятности цикла: p^n * q^n-1. Коэффициент, учитывающий количество способов задать циклические порядки на множестве вершин. Объяснение коэффициента через циклические сдвиги перестановок.
Предельные теоремы 33:56 Обсуждение предельных теорем в теории вероятности. Введение обозначения для количества успехов в схеме испытаний Бернулли. Формула для вероятности конкретного значения успеха.
Теорема Пуассона 38:26 Теорема Пуассона утверждает, что при больших n и q вероятность успеха зависит от n. Зависимость вероятности успеха от числа испытаний. Асимптотическое равенство p * q = c / n.
Асимптотическое равенство 40:32 Объяснение понятия асимптотического равенства в анализе. Пример асимптотического равенства для функции.
Асимптотическое равенство и тильда 41:31 Обсуждение асимптотического равенства функций при стремлении к бесконечности. Упоминание о необходимости договорённости об отсутствии нулей в знаменателе. Пример с последовательностями n и n + 1 иллюстрирует, что отношение, стремящееся к единице, не всегда означает, что разность стремится к нулю.
Вероятность успеха в схеме испытаний Бернулли 42:29 Вероятность успеха в схеме испытаний Бернулли описывается как c / n, где c — константа больше нуля. Вероятность того, что случайная величина принимает конкретное значение k, асимптотически равна c^k * e^(-c) / k!.
Теорема и её доказательство 43:28 Формулировка теоремы и её доказательство. Подстановка c / n вместо p в теореме. Важность предположения, что k — константа, для корректности асимптотического равенства.
Пример с растущей степенью 44:47 Пример с выражением 1 + 1/n^n, которое асимптотически равно e, иллюстрирует, что растущая степень может изменить асимптотику. Объяснение, почему предположение о константности k важно для корректности анализа.
Работа с тильдой и малыми от единицы 47:19 Объяснение использования тильды и малых от единицы для сохранения асимптотики. Пример преобразования выражения с тильдой в более понятное.
Сокращение факториалов и асимптотика 49:49 Сокращение факториалов и использование асимптотических свойств. Вывод о том, что конечное произведение фиксированного числа скобок асимптотически равно произведению асимптотик.
Завершение доказательства 55:28 Преобразование выражения с тильдой в степень. Подтверждение, что последний множитель асимптотически равен e^(-c). Получение заявленной формулы в результате всех преобразований.
упрощение выражений 56:23 Замена «равно» упрощает выражение, убирая сложные формулы. Упрощение приводит к выражению «один минус цена н вной», которое легко преобразуется в «е в степени минус сцена». Замена «кана» на функцию от «эн» усложняет задачу.
Пуасоновское распределение 57:43 Обсуждение пуасоновского распределения и его обозначения через «лямбда». Подчёркивается, что обозначение константы не имеет большого значения.
Теорема Муавра-Лапласа 1:00:18 Формулировка теоремы Муавра-Лапласа и её применение. Вероятность события стремится к интегралу при стремлении к бесконечности. Интеграл представляет нормальное распределение.
Пример с театрами 1:05:15 Пример с двумя входами в театр и гардеробами. Проблема переполнения гардеробов и необходимость оптимального размера. Расчёт вероятности переполнения гардеробов.
Анализ вероятности переполнения 1:09:08 Определение вероятности переполнения гардеробов как 1/365. Обсуждение оптимального размера гардеробов для минимизации вероятности переполнения. Упоминание о теореме и её применении для решения задачи.
Введение в правило трёх сигм 1:10:31 Единица от минус бесконечности до бесконечности почти целиком находится в интервале от минус трёх до трёх. Упоминается правило трёх сигм.
Схема испытаний Бернулли 1:11:19 Рассматривается схема испытаний Бернулли: тысяча человек независимо друг от друга бросают монетку, выбирая направление движения. Вероятность выбора направления — одна вторая.
Определение успеха и неудачи 1:11:56 Успех — это когда человек выбирает правое направление. Неудача — когда человек выбирает левое направление.
Условия успеха и неудачи 1:12:39 Плохо, если количество людей, выбравших правое направление, больше или равно x. Хорошо, если количество выбравших левое направление меньше или равно x.
Вероятность успешного исхода 1:14:13 Вероятность успешного исхода примерно равна 1 - 1/365. Это примерно 0,997.
Применение теоремы Муавра-Лапласа 1:16:23 Преобразование неравенств для применения теоремы Муавра-Лапласа. Использование корня из npp для упрощения выражения.
Заключение и сравнение теорем 1:21:21 Объяснение разницы между теоремой Пуассона и теоремой Муавра-Лапласа. Практическое наблюдение: если np большое, применяем теорему Муавра-Лапласа, если np² маленькое — теорему Пуассона.
Завершение лекции 1:22:48 Подведение итогов лекции. Обещание вывести теорему из более общего результата в будущем.
