Точечное произведение векторов 0:22 Определение точечного произведения двух векторов как суммы произведений их компонентов. Геометрическая интерпретация: длина вектора умножается на косинус угла между векторами.
Применение точечного произведения 2:05 Определение перпендикулярности векторов. Поиск компонентов вектора вдоль заданного направления.
Площадь треугольника 10:16 Определение площади треугольника через высоту и основание. Использование косинуса угла для нахождения площади треугольника. Определение дополнительного угла и его использование для упрощения вычисления площади треугольника.
Площадь параллелограмма 18:29 Площадь параллелограмма равна половине длины a и синуса тета длины b. Площадь может быть положительной или отрицательной в зависимости от расположения точек a и b.
Объем параллелепипеда 24:26 В пространстве также существует понятие определителя, который помогает находить объемы. Формула для объема параллелепипеда: определитель трех векторов a, b, c равен плюс или минус объем параллелепипеда.
Геометрическое определение определителя 30:58 Определитель можно вычислить геометрически, но для этого требуется использовать определитель.
Определение перекрестного произведения 33:37 Определение перекрестного произведения двух векторов в трехмерном пространстве. Использование определителя для вычисления перекрестного произведения.
Геометрический смысл перекрестного произведения 36:44 Перекрестное произведение двух векторов определяет параллелограмм в пространстве. Направление перекрестного произведения перпендикулярно плоскости параллелограмма.
Правило правой руки для определения направления 39:16 Использование правила правой руки для определения направления перекрестного произведения. Экспериментирование с правилом правой руки для определения направления.
Примеры вычисления перекрестного произведения 41:30 Примеры вычисления перекрестного произведения для различных векторов. Обсуждение сложности вычисления определителя и его использования для вычисления перекрестного произведения.
Объем параллелопипеда 46:53 Автор обсуждает, как найти объем параллелопипеда, если не знать о детерминантах. Он объясняет, что объем равен площади основания, умноженной на высоту, и что площадь основания можно найти с помощью перекрестного произведения. Высота параллелопипеда - это составляющая вектора a в направлении, перпендикулярном основанию, и может быть получена с помощью единичного вектора n.
Скалярное произведение и определитель 51:05 Автор объясняет, что объем параллелопипеда равен скалярному произведению вектора b на вектор c. Он также объясняет, что определитель равен тройному произведению a, b, c. Автор проверяет, что эти формулы имеют смысл, используя геометрические представления и формулы.
