Применение производной к построению графиков функций

YOUTUBE · 23.11.2025 06:16

Ключевые темы и таймкоды

Введение в построение графиков функций с помощью производной

0:03

Алгоритм: выяснить область определения функции, найти производную, найти стационарные точки, найти промежутки возрастания и убывания, найти точки экстремума.
Пример: функция y = x^3 - 3x^2 + 4.

Определение области определения функции

2:42

Функция не содержит знаменатель, корень или логарифм, поэтому область определения - все действительные числа.

Нахождение производной

3:48

Производная от x^3 - 3x^2 + 4 равна 3x^2 - 6x.

Нахождение стационарных точек

4:33

Приравнять производную к нулю: 3x^2 - 6x = 0.
Решить уравнение: x = 0 и x = 2.

Определение промежутков возрастания и убывания

5:47

Метод интервалов: определить знаки производной на промежутках.
Промежутки возрастания: от -∞ до 0 и от 2 до +∞.
Промежуток убывания: от 0 до 2.

Нахождение точек экстремума

9:11

Точка 0 - максимум, точка 2 - минимум.
Найти значения функции в точках экстремума: y = 4 при x = 0, y = 0 при x = 2.

Построение графика

12:10

Построить прямоугольную систему координат.
Отметить точки: 0, 4 и 2, 0.
Построить график, учитывая промежутки возрастания и убывания.
Подписать график: y = x^3 - 3x^2 + 4.