Практика 1. Часть 1. Собственные вектора и значения линейного оператора. Канонический вид.

YOUTUBE · 16.11.2025 03:01

Ключевые темы и таймкоды

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора

2:37

В примере рассматривается линейный оператор в трехмерном пространстве, заданный матрицей.
Находят собственные значения и собственные вектора, используя характеристическое уравнение и матрицу.

Составление матрицы и нахождение собственных векторов

9:05

Для каждого собственного значения составляют матрицу и находят собственные вектора, используя фундаментальную систему решений.
В результате получают собственные вектора, соответствующие каждому собственному значению.

Собственные значения и собственные вектора

19:13

В видео обсуждается задача нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
Для решения задачи выбирается базис, состоящий из собственных векторов или их комбинаций.
В качестве примера, выбирается базис, состоящий из векторов, соответствующих собственным значениям 1, 2 и 3.

Проверка правильности решения

21:24

Для проверки правильности решения, необходимо убедиться, что матрица перехода от старого базиса к новому является диагональной.
Для этого, нужно переписать базисные вектора в столбцы матрицы перехода и убедиться, что порядок записи соответствует порядку векторов в старом базисе.

Ортогональные преобразования

25:38

В видео также рассматривается задача нахождения ортогонального преобразования, которое переводит из одного ортонормированного базиса в другой.
Для решения этой задачи, необходимо найти собственные значения и собственные вектора, а также найти базис, в котором матрица оператора будет иметь диагональный вид.
Для нахождения обратной матрицы, достаточно просто транспонировать исходную матрицу.