Введение и постановка задачи 0:00 Рассматривается задача на симплекс-метод для производства четырёх видов изделий. Завод использует три вида сырья, запасы которого известны. Цель — составить план выпуска изделий, чтобы прибыль была максимальной.
Математическая модель 0:37 Для изготовления изделия требуется определённое количество сырья каждого вида. Записывается математическая модель с переменными x1, x2, x3, x4. Учитываются ограничения на использование сырья: суммарное потребление не должно превышать запасы.
Функция прибыли и приведение к каноническому виду 2:37 Функция прибыли f вычисляется как сумма прибылей от продажи изделий. Система неравенств приводится к системе уравнений путём добавления переменных. Добавляются переменные x5, x6, x7 для достижения равенства левой части уравнений.
Анализ матрицы коэффициентов 4:37 Строится матрица коэффициентов A. Определяются базисные переменные x5, x6, x7. Экономический смысл дополнительных переменных — излишки сырья.
Первый опорный план 6:52 Первый опорный план: x5 = 1000, x6 = 600, x7 = 150. Этот план не является оптимальным, так как все ресурсы идут в излишки.
Подготовка к симплекс-методу 8:38 Записывается базис и функция f. Переносятся коэффициенты функции влево для получения нуля.
Итерация симплекс-метода 10:23 Проверяется критерий оптимальности: текущий опорный план не оптимален из-за отрицательных коэффициентов. Определяется новая базисная переменная x1. Формируется новая часть симплекс-таблицы с учётом изменений в плане.
Формирование новой части симплекс-таблицы 12:23 Строка, соответствующая переменной x1, заполняется путём деления элементов строки x6 на разрешающий элемент 4. В месте разрешающего элемента в плане 1 записывается единица, в остальных клетках столбца — нули.
Деление строки на четыре 13:38 Делим первую строку на четыре, получая новую строку. Подставляем новые значения в исходную строку: 150, 1, 1/2, 1/4, 0. Отнимаем пять раз новую строку от первой, чтобы получить нули.
Вычитание элементов 14:38 Вычитаем пять раз новую строку из каждого элемента исходной строки. Получаем новые значения: -3/2, -5/2, 3/4, 0, 0.
Поиск значения целевой функции 15:38 Для получения нуля в целевой функции прибавляем новую строку шесть раз к исходной. Новые значения: 900, 1, 1/2, -5/2, 0.
Проверка опорного плана 17:25 Проверяем опорный план на наличие отрицательных элементов. Обнаруживаем отрицательный элемент и переходим к следующей итерации.
Определение новой базисной переменной 18:10 Выбираем максимальный по модулю элемент в индексной строке. Определяем значение d и t, деля b на значения по модулю. Выбираем третью строку как ведущую.
Пересчёт симплекс-таблицы 19:10 Делим всю строку на ведущий элемент. Заменяем элементы в базисе, учитывая ведущий элемент.
Приведение к целому виду 22:10 Умножаем все элементы строки на целое число для удобства работы. Приводим матрицу к целому виду, умножая на 4 или 2.
Получение нуля в четвёртом столбце 24:03 Применяем метод, аналогичный методу Гаусса, для получения нуля в четвёртом столбце. Отнимаем третью строку три раза и прибавляем её пять раз к другим строкам.
Преобразование чисел 25:03 От минус-шестёрки отнимаем три раза по минус две третьих, получаем четыре. От минус-десяти отнимаем три раза по два, получаем минус шестнадцать. От пяти три раза отнимаем ноль, получаем четыре. От минус-пяти три раза отнимаем минус одну треть, получаем минус четыре.
Работа с первой строкой 26:03 В первой строке отнимаем шестьсот минус ноль, получаем четыре. Прибавляем пять раз по минус две третьих, получаем минус восемь третьих. Проверяем критерий неотрицательности.
Анализ отрицательного элемента 27:56 Обнаруживаем отрицательный элемент во втором столбце. Определяем ведущий элемент как восемь третьих. Переписываем симплекс-таблицу, заменяя переменные.
Преобразование строк 28:56 Делим строку на две третьих, получаем двести двадцать пять. Отнимаем новую строчку четыре раза, чтобы получить ноль. Делим строку на четыре, получаем сто пятьдесят.
Завершение метода Гаусса 30:56 Делим вторую строчку на два, прибавляем к четвёртой, получаем ноль. Получаем таблицу с нулевыми значениями в ведущей строке.
Проверка оптимальности 31:56 Проверяем оптимальность, нет отрицательных значений. Определяем оптимальный план: x2 = 225, x4 = 150, x5 = 475.
Нахождение максимального значения 32:42 Подставляем значения в начальную задачу. Находим максимальное значение функции: 1050.
Заключение 33:42 Метод Гаусса требует много времени, но эффективен для сложных задач. Графический метод сложно применять из-за большого количества переменных. Основные принципы метода понятны, рекомендуется продолжать изучение линейного программирования.
