Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

YOUTUBE · 16.11.2025 07:48

Ключевые темы и таймкоды

Введение и цель стрима

0:01
  • Приветствие зрителей и объяснение, что стрим переделан из предыдущего.
  • Цель стрима — создать видео-шпаргалку по планиметрии, охватывающую основные факты и конструкции.
  • Упоминание о времени стрима — около четырёх часов.

План стрима и взаимодействие с аудиторией

1:22
  • Обсуждение плана: изложение фактов от признаков равенства треугольников до теоремы Птолемея.
  • Объяснение, что некоторые факты будут доказываться по ходу, а другие — нет.
  • Акцент на фактах, которые нужно доказывать на ЕГЭ.

Признаки равенства треугольников

3:11
  • Введение в признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам.
  • Доказательство суммы углов треугольника через накрест лежащие углы.

Свойства равных треугольников

6:00
  • Обсуждение свойств равных треугольников: равные радиусы вписанной и описанной окружностей, равные площади и периметры.

Параллелограмм и его свойства

6:41
  • Определение параллелограмма: четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  • Основные свойства параллелограмма: противоположные стороны попарно равны, противоположные углы попарно равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Признаки параллелограмма: если диагонали точкой пересечения делятся пополам, если две противоположные стороны равны и параллельны.

Теорема Погорелова

11:29
  • Формулировка теоремы Погорелова: если на одной стороне угла отмечены два равных отрезка и через эти точки проведены две параллельные прямые, то они высекают на другой стороне угла тоже равные отрезки.
  • Доказательство теоремы через свойства параллелограмма и соответственные углы.

Теорема Фалеса и средняя линия треугольника

14:02
  • Теорема Фалеса утверждает, что если два отрезка равны и параллельны две прямые, то и другие два отрезка равны.
  • Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
  • Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и в два раза меньше этой стороны.

Обратная теорема Фалеса

15:43
  • Обратная теорема Фалеса гласит: если два отрезка равны и прямые параллельны, то и другие два отрезка равны.
  • Доказывается методом от противного с помощью теоремы Фалеса.
  • На ЕГЭ можно использовать свойство средней линии без доказательства обратной теоремы Фалеса.

Обобщённая теорема Фалеса

17:37
  • Обобщённая теорема Фалеса позволяет использовать любые отрезки, а не только равные.
  • Если две параллельные прямые пересекают угол, то отношение отрезков на этих прямых равно отношению соответствующих сторон угла.
  • Обратная теорема о пропорциональных отрезках утверждает, что если отрезки пропорциональны, то прямые параллельны.

Свойства средних линий в треугольнике

20:30
  • В треугольнике можно провести три средние линии.
  • Каждая средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
  • Треугольник разбивается на четыре равных треугольника, площади которых равны.

Площадь треугольника и формула площади четырёхугольника

22:51
  • Площадь треугольника, образованного средней линией, в четыре раза меньше площади исходного треугольника.
  • Формула площади выпуклого четырёхугольника: площадь = 1/2 * di * d2 * sin угла между ними.

Введение в тригонометрию

23:34
  • Объяснение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.
  • Определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе.
  • Подчёркивание важности тригонометрии в планиметрии.

Формула площади треугольника

24:33
  • Формула площади треугольника через стороны и синус угла: 1/2 * a * b * sinγ.
  • Упоминание о сложности формулы на первый взгляд.

Доказательство формулы площади

26:44
  • Использование высоты треугольника для доказательства формулы площади.
  • Выражение синуса через высоту и стороны треугольника.
  • Получение итоговой формулы площади.

Остроугольные и тупоугольные треугольники

28:20
  • Объяснение свойств высот в остроугольных треугольниках.
  • Особенности высот в тупоугольных треугольниках и необходимость продления стороны для проведения высоты.

Площадь параллелограмма

30:11
  • Параллелограмм как четырехугольник, состоящий из двух равных треугольников.
  • Формула площади параллелограмма: 1/2 * a * b * sinγ * 2 = a * b * sinγ.

Теорема Вариньона

32:09
  • Теорема Вариньона: соединение серединок сторон четырёхугольника всегда образует параллелограмм.
  • Доказательство теоремы через свойства средних линий треугольников.

Применение теоремы Вариньона

33:42
  • Анализ треугольников ABC и ACD для доказательства теоремы.
  • Вывод о том, что PKURS является параллелограммом на основе свойств средних линий.

Введение и рекомендации

35:01
  • Автор отмечает, что плохое понимание материала указывает на необходимость работы над базовой планиметрией.
  • Рекомендует бесплатный интенсивный курс по планиметрии для улучшения понимания.

Свойства параллелограмма

35:49
  • Обсуждаются свойства параллелограмма, образованного средними линиями треугольников в выпуклом четырёхугольнике.
  • Доказывается, что средние линии параллельны и равны половине диагонали.

Площадь параллелограмма

37:01
  • Рассматривается вопрос о доле площади параллелограмма от площади четырёхугольника.
  • Объясняется, что площадь параллелограмма составляет половину площади четырёхугольника.

Формула площади четырёхугольника

40:12
  • Формулируется формула для площади четырёхугольника через диагонали и синус угла между ними.
  • Доказывается формула, используя свойства параллелограмма и средних линий.

Заключение и переход к новой теме

42:46
  • Подчёркивается важность доказательства теорем и применения новых фактов.
  • Анонсируется переход к теме подобия треугольников.

Видеошпаргалка

45:41
  • Автор предлагает создать видеошпаргалку на стриме вместе с аудиторией.
  • Объясняется, что видеошпаргалка поможет быстро повторить теорию перед ЕГЭ.

Подобие треугольников

47:39
  • Подобные треугольники имеют равную форму, но разные размеры.
  • Все углы подобных треугольников равны.
  • Стороны подобных треугольников пропорциональны с коэффициентом подобия.

Коэффициент подобия

48:30
  • Коэффициент подобия — это отношение сторон подобных треугольников.
  • Пример: стороны большого треугольника в k раз больше сторон маленького треугольника.

Площади подобных треугольников

49:23
  • Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
  • Соотношение сторон подобных треугольников: a/a1 = b/b1 = c/c1 = k.

Признаки подобия треугольников

50:30
  • Признаки подобия: по двум углам, по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, по трём пропорциональным сторонам.
  • Пример признака по двум пропорциональным сторонам: 4/2 = 6/3 = 2/1.

Промежуточный итог

53:27
  • Подведение итогов по теме подобия треугольников.
  • Анонс дальнейших тем и усложнения материала.

Стандартные конструкции подобных треугольников

55:00
  • Важность запоминания стандартных конструкций для нахождения подобных треугольников.
  • Пример из теоремы Фалеса: параллельные прямые пересекают угол, образуя подобные треугольники.

Окружность и подобные треугольники

57:33
  • Окружность, проходящая через две вершины треугольника, пересекает его стороны в точках, образующих вписанный четырёхугольник.
  • Доказательство подобия треугольников через вписанные углы.

Прямоугольный треугольник и высота

1:00:10
  • В прямоугольном треугольнике, из прямого угла проведена высота, образуются три подобных треугольника.
  • Объяснение равенства углов в прямоугольном треугольнике.

Подобие треугольников

1:02:21
  • Три треугольника подобны: BAC, CHA и B, C.
  • Соотношение сторон: CA:AH = HB:CA.
  • Квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она разбивает гипотенузу.

Нахождение высоты в прямоугольном треугольнике

1:04:25
  • Высота в прямоугольном треугольнике равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
  • Площадь треугольника можно найти двумя способами: через произведение катетов и через высоту, проведённую к гипотенузе.

Средняя линия треугольника

1:05:47
  • Средняя линия треугольника параллельна стороне и делит её пополам.
  • Верхний треугольник подобен большому с коэффициентом 1:2.

Ортоцентр и подобие треугольников

1:07:04
  • В остроугольном треугольнике три высоты пересекаются в одной точке — ортоцентре.
  • Ортоцентр позволяет найти множество подобных треугольников.

Трапеция и её свойства

1:10:08
  • Трапеция — это четырёхугольник с двумя параллельными сторонами и двумя непараллельными.
  • Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна основаниям.

Площадь трапеции

1:15:35
  • Площадь трапеции равна площади треугольника, образованного высотой и основаниями.
  • Формула площади трапеции: площадь = высота × средняя линия.

Заключение

1:17:02
  • Подчёркивается важность знания теорем и фактов для решения задач.
  • Стрим направлен на повторение и закрепление материала.

Дополнительные построения в трапеции

1:17:55
  • Проведение прямой через вершину трапеции параллельно боковой стороне разделяет трапецию на параллелограмм и треугольник.
  • Это построение удобно для решения задач.

Пример применения построения

1:18:54
  • Пример с трапецией, стороны которой равны 5 и 5, иллюстрирует использование построения.

Теорема косинусов

1:20:20
  • Теорема косинусов позволяет находить стороны и углы треугольника.
  • Формула теоремы: c² = a² + b² - 2ab * cosγ.

Теорема Пифагора

1:21:20
  • Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
  • Обратная теорема Пифагора: если a² + b² = c², то треугольник прямоугольный.

Применение теоремы косинусов в трапеции

1:24:02
  • Использование теоремы косинусов для нахождения углов трапеции.
  • Пример: зная стороны трапеции 5, 5, 6, 10, можно найти угол с помощью теоремы косинусов.

Продление боковых сторон трапеции

1:28:37
  • Продление боковых сторон трапеции до пересечения создаёт пару подобных треугольников.
  • Диагонали трапеции разбивают основание пополам.

Замечательное свойство трапеции

1:30:16
  • Прямая, соединяющая точку пересечения продолжения боковых сторон с точкой пересечения диагоналей, разбивает основание трапеции пополам.
  • Это свойство важно для решения задач.

Серединный перпендикуляр

1:31:29
  • Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.
  • В треугольнике можно провести три серединных перпендикуляра к сторонам.

Свойства серединного перпендикуляра

1:33:19
  • Любая точка на серединном перпендикуляре находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка.
  • Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Центр описанной окружности

1:35:12
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности.

Задача с трапецией

1:36:07
  • Дана трапеция с основанием AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взята точка P, такая что углы APD и BPD равны 90 градусов. Требуется доказать, что AP = PD.

Решение задачи

1:37:32
  • Продление боковых сторон трапеции приводит к подобию треугольников.
  • Если верхнее основание трапеции в два раза меньше нижнего, то верхнее основание превращается в среднюю линию треугольника.
  • Точка P является центром описанной окружности треугольника ADK, поэтому AP и PD равны радиусам этой окружности.

Рельсы Евклида

1:42:31
  • Рельсы Евклида показывают, что площадь треугольника не меняется при движении точки по параллельной прямой.
  • Это свойство применимо к трапеции: площади треугольников ABC и BCD равны.

Подобие треугольников в трапеции

1:45:58
  • Треугольники, образованные диагоналями трапеции, подобны с коэффициентом, равным отношению оснований.
  • Площади подобных треугольников равны.

Прямоугольная трапеция

1:47:04
  • Прямоугольная трапеция — это трапеция с двумя равными углами при боковой стороне.

Введение в тему

1:47:14
  • Обсуждение задачи на применение дополнительного построения и «пушечного свойства».
  • Упоминание свойств медианы и удвоения медианы.

Обзорный веб-урок

1:47:56
  • Объяснение, что это не курс, а обзорный веб-урок.
  • Подчёркивание важности практики для освоения материала.

Свойства медианы

1:48:54
  • Определение медианы как отрезка, соединяющего вершину треугольника с серединой стороны.
  • Утверждение, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении два к одному.

Удвоение медианы

1:49:51
  • Описание процесса удвоения медианы: продление медианы на её длину.
  • Объяснение, почему полученный четырёхугольник является параллелограммом.

Пример применения удвоения медианы

1:52:46
  • Задача: доказать, что точка на стороне треугольника, равноудалённая от двух равных углов, равна длине стороны.
  • Решение: использование удвоения медианы для упрощения доказательства.

Медиана из прямого угла

1:56:13
  • Утверждение: медиана из прямого угла в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.
  • Доказательство через удвоение медианы и свойства параллелограмма.

Обратный факт

1:58:46
  • Доказательство обратного факта: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный.
  • Использование суммы углов треугольника для доказательства.

Задача на прямоугольную трапецию

2:00:28
  • Условия задачи: прямоугольная трапеция, верхнее основание которой в два раза меньше нижнего.
  • Требование доказать равенство сторон.

Доказательство свойства трапеции

2:01:11
  • Меньшее основание трапеции в два раза меньше нижнего.
  • Проводим среднюю линию BC, которая является медианой в прямоугольном треугольнике PAD.
  • Доказываем, что AC = CD, так как AC — медиана, проведённая из прямого угла треугольника PAD.

Свойства равнобедренной трапеции

2:02:23
  • В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а углы при основании равны.
  • Опускаем две высоты BH1 и H2, которые делят трапецию на два равных прямоугольных треугольника.
  • Отрезки BH1 и H2 равны, а их сумма равна длине средней линии трапеции.

Вписанная окружность и равнобедренная трапеция

2:06:34
  • Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  • Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180 градусам, что позволяет описать вокруг неё окружность.

Вписанные и центральные углы

2:08:52
  • Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
  • Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
  • Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Равенство вписанных углов

2:14:26
  • Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
  • Они равны половине центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Угол между хордой и касательной

2:15:02
  • Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.
  • Доказательство основано на свойствах радиусов и углов в треугольнике.
  • Это свойство часто применяется в задачах.

Вписанные четырёхугольники

2:17:46
  • Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов 180 градусов.
  • Если в четырёхугольнике проведены диагонали, то появляется множество равных вписанных углов.

Признаки вписанного четырёхугольника

2:19:36
  • Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 градусам, то он вписан в окружность.
  • Если в четырёхугольнике равны два угла, опирающиеся на одну сторону, то вокруг него можно описать окружность.
  • Если в четырёхугольнике равны углы, образованные продлением стороны, то вокруг него можно описать окружность.

Теорема синусов

2:22:27
  • Теорема синусов: для треугольника ABC справедливо равенство a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2r, где r — радиус описанной окружности.
  • Теорему синусов можно использовать для нахождения сторон треугольника по известным углам или для вычисления радиуса описанной окружности по стороне и синусу противолежащего угла.

Доказательство теоремы синусов

2:24:00
  • Проводим диаметр через центр окружности и точку B.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике BPA синус угла γ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, которая равна 2r.
  • Доказываем, что c/sinγ = 2r, что завершает доказательство теоремы синусов.

Счётные теоремы

2:29:35
  • Основные счётные теоремы: подобие, теорема Пифагора, теорема косинусов, теорема синусов, теорема Менелая и теорема Чевы.
  • Теорема Менелая позволяет вычислять отношения отрезков в треугольнике.

Теорема Менелая

2:31:49
  • Если прямая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны, то произведение отношений отрезков равно 1.
  • Правило запоминания: «вершина — точка — точка — вершина».
  • Обратная теорема Менелая позволяет доказать, что три точки лежат на одной прямой, если выполнено определённое равенство.

Теорема о пропорциональных отрезках

2:34:09
  • Теорема утверждает, что для двух параллельных прямых и пересекающего их угла отношение отрезков на одной стороне равно отношению отрезков на другой стороне.
  • Пример: отношение a/a+b равно отношению x/x+y.
  • Обобщённая теорема Фалеса позволяет записывать любое отношение отрезков.

Доказательство теоремы Тернила

2:35:08
  • Через точку C проводится прямая, параллельная BC1, и получается точка C2.
  • Применяются теоремы о пропорциональных отрезках для доказательства равенства отношений.
  • После упрощения выражений получается равенство, подтверждающее теорему.

Теорема Чевы

2:37:06
  • Теорема Чевы используется на ЕГЭ без доказательства.
  • В треугольнике проводятся три чевианы, пересекающиеся в одной точке.
  • Чевиана — это произвольный отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
  • Биссектриса и медиана также являются чевианами.

Теорема Птолемея

2:39:13
  • Теорема Птолемея применяется для вписанных в окружность четырёхугольников.
  • Произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
  • Пример задачи на ЕГЭ, решаемой с помощью теоремы Птолемея.

Свойство ортоцентра

2:41:38
  • В остроугольном треугольнике проводятся две высоты, которые не пересекаются в ортоцентре.
  • Треугольники, образованные высотами, подобны с коэффициентом подобия, равным косинусу угла между высотами.
  • Это свойство используется для решения задач на ЕГЭ.

Пример задачи на ортоцентр

2:46:07
  • В треугольнике проведены две высоты, отрезок AC1 равен 2, AC равен 5.
  • Необходимо найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
  • Применяются теоремы синусов и косинусов для решения задачи.
  • Результат: радиус равен 25/2√21.

Введение в биссектрису

2:49:27
  • Обсуждение свойств биссектрисы угла.
  • Биссектриса разбивает угол пополам и является геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла.

Свойства биссектрисы и вписанной окружности

2:51:26
  • Если точка внутри угла равноудалена от сторон, то биссектриса проходит через неё.
  • Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе этого угла.
  • Отрезки касательных к окружности из одной точки равны.

Инцентр треугольника

2:52:58
  • Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется инцентром.
  • Инцентр является центром вписанной окружности треугольника.
  • Вписанная окружность касается всех сторон треугольника в точках пересечения биссектрис.

Пропорциональность отрезков на биссектрисе

2:54:55
  • Биссектриса разбивает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам треугольника.
  • Доказательство основано на теореме о пропорциональных отрезках и равнобедренном треугольнике.

Биссектриса в параллелограмме

2:58:08
  • Биссектриса угла в параллелограмме отсекает равнобедренный треугольник.
  • Биссектрисы двух односторонних углов параллелограмма перпендикулярны.
  • Если в параллелограмме AB = BP, то AP — биссектриса.

Формулы площади треугольника

3:03:11
  • Формула площади треугольника: S = 1/2 * a * h, где a и h — стороны и высота треугольника.
  • Формула площади через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = p * r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Описанный четырёхугольник

3:05:28
  • В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.
  • Это свойство используется для доказательства возможности вписания окружности в четырёхугольник.

Формула для описанного многоугольника

3:06:52
  • Формула работает не только для треугольника, но и для любого описанного многоугольника.
  • Доказательство аналогично для пятиугольника: разбиение на фигуры, опускание радиусов в точках касания и подсчёт площадей.

Формула Герона

3:08:04
  • Формула Герона: S = √p(p - a)(p - b)(p - c)(p - d), где p — полупериметр, a, b, c, d — стороны треугольника, r — радиус описанной окружности.

Формулы для параллелограмма

3:10:02
  • Площадь параллелограмма: S = a * b * sinα.
  • Параллелограмм состоит из двух треугольников, поэтому его формулы аналогичны формулам для треугольников.

Ромб

3:10:48
  • Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
  • Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами углов.
  • Площадь ромба: S = 1/2 * d1 * d2, где d1 и d2 — диагонали ромба.

Формула Брахмагупты

3:12:18
  • Формула для площади вписанного четырёхугольника: S = √p - a - b - c - d.
  • Особенно удобна для равнобедренной трапеции.

Вписанный и описанный четырёхугольник

3:13:47
  • Площадь вписанного и описанного четырёхугольника: S = √abcde.
  • Доказательство основано на свойствах вписанного четырёхугольника: a + c = b + d.

Дополнительные построения в трапеции

3:19:12
  • Пример задачи из ЕГЭ: доказать перпендикулярность диагоналей трапеции.
  • Построение: провести прямую через вершину C параллельно диагонали BD.
  • Доказательство через теорему Пифагора: треугольник ACK прямоугольный, следовательно, AC перпендикулярно BD.

Факты об окружности

3:22:30
  • Углы между секущими и хордами: угол между секущими равен полуразности дуг, угол между хордами равен полусумме дуг.
  • Произведения отрезков хорд равны: a * b = c * d.

Касательная и секущая

3:25:05
  • Доказательство свойств касательной и секущей через сумму углов треугольника и подобие треугольников.
  • Отрезки касательных равны.
  • Квадрат касательного равен произведению внешней части секущей на всю секущую.

Параллельные прямые и хорды

3:26:54
  • Параллельные прямые высекают равные дуги.
  • Перпендикуляр из центра окружности на хорду разбивает хорду пополам.
  • Доказательство через равнобедренный треугольник и медиану.

Биссектрисы и медианы

3:30:12
  • Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Произвольная медиана разбивает треугольник на два треугольника, площади которых относятся как a:b.

Сумма углов многоугольника

3:33:15
  • Сумма углов n-угольника равна 180° * n - 2.

Заключение

3:35:27
  • Подведение итогов: повторение основных фактов и конструкций.
  • Оценка времени: за 5–6 часов можно рассказать почти всё.
  • Анонс будущих вебинаров: разбор досрочного ЕГЭ.
Похожие пересказы
Заточка для "НАЧИНАЮЩИХ" Абразивы "Профиль" Финиш арканзас ХАРД. Заточка на Профиль К03.
YOUTUBE 01.12.2025
Профиль TikTok и Очистка электронной почты / Scrape | Scrapebox Профиль TikTok и очистка электронной почты | Взлом роста 🤖
YOUTUBE 29.11.2025
Где найти и как открыть профиль в ВК с телефона. Изучаем новый профиль в ВК на телефоне
YOUTUBE 19.11.2025
КАК КРАСИВО ОФОРМИТЬ СВОЙ STEAM ПРОФИЛЬ В 2023 ГОДУ? STEAM ПРОФИЛЬ БЕЗ ПРОГРАММ В 2023 ГОДУ!
YOUTUBE 19.11.2025